em_waves.tex

\chapter{Elektromagnetische Wellen}
Bevor wir die elektromagnetischen Wellen betrachten, wiederholen wir kurz 
die wesentlichen Eigenschaften von Wellen und die 
Maxwell-Gleichungen.
\section{Wellenph\"anomen}
Angenommen, wir haben eine Funktion $f(x)$ und m\"ochten diese Funktion mit einer Geschwindigkeit $v$ in positiver $x$-Achse bewegen, um damit eine Funktion $f(x,t)$ zu konstruieren,
 die die Wellengleichung $v^2\partial_{xx}f(x,t)=\partial_{tt}f(x,t)$ l\"ost (in verk\"urzter Schreibweise mit $\partial_{xx}:=\partial^2/\partial x^2$
und $\partial_{tt}:=\partial^2/\partial t^2$). \\
Es reicht hierf\"ur, das Argument $x\mapsto x-v\,t$ zu ersetzen: $f(x,t)=f(x-v\,t)$ l\"ost dann die Wellengleichung (\"Ubung). Es existiert eine zweite L\"osung der Wellengleichung: $f(x,t)=f(x+v\,t)$, die
in die negative $x$-Richtung propagiert. \\
Der Spezialfall ist die harmonische Welle\footnote{der allgemeine Fall l\"asst sich durch \"Uberlagerung von harmonischen Wellen (Fourier-Reihenentwicklung) erzeugen} mit $f(x)=f_0\,\sin(kx)$ mit $k=2\pi/\lambda$ und der Wellenl\"ange $\lambda$. Hier ergibt sich die harmonische Welle mit unserem Rezept:
$$f(x,t)=f(x-v\,t)=f_0\,\sin(k(x-v\,t))=f_0\sin(k\,x-k\,v\,t).$$
Wenn wir z.B. eine fortschreitende transversale Seilwelle mit einem
rotierenden Rad der Periode $T$ anregen, wird
die Welle innerhalb einer Periode $T$ eine Wellenl\"ange $\lambda=v\,T$ zur\"ucklegen (das gleiche gilt f\"ur jede harmonische Welle). Mit $T=2\pi/\omega$ ist also $\lambda=2\pi\,v/\omega$ und
$\omega=v\,2\pi/\lambda=v\,k$. Damit ergibt sich:
$$f(x,t)=f_0\,\sin(k\,x-\omega\,t),$$
oder allgemein f\"ur eine Welle, die in Richtung $\bm{k}$ in drei Dimensionen fortschreitet:
$$f(\bm{r},t)=f_0\,\sin(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega\,t).$$
Anmerkung: Das Wellenph\"anomen ist universell in der Physik: Schallwelle, Seilwelle, Torsionswelle - welche Wellenph\"anomene kennen Sie noch? Exotischere Wellenph\"anomene finden sich in der Quantenmechanik und in der Gravitationswelle.\\
\textbf{Sonderfall einer Welle: Stehende Welle.}\\
Aus der \"Uberlagerung von zweier Wellen gleicher Amplitude aber unterschiedlicher Ausbreitungsrichtungen $f_1=f_0\sin(kx-\omega\,t)$ und $f_2=f_0\sin(kx+\omega\,t)$ ergibt sich eine stehende Welle:
$$f(x,t)=f_1+f_2=2f_0\sin(k\,x)\cos(\omega\,t),$$
(hierbei nutzen wir die Identit\"at: $\sin\alpha\pm\sin\beta=2\sin((\alpha\pm\beta)/2)\cos((\alpha\mp\beta)/2)$). 
Durch die \"Uberlagerung ergibt sich eine faktorisierte Funktion: $f(x,t)=g(x)\,h(t)$ mit Nullstellen von $g(x)$ bei 
$x_{0n}=\lambda/2,
        \lambda,
        3\lambda/2,
        2\lambda,\ldots=n\lambda/2$ ($n\in\N$) 
        und \textit{B\"auchen} bei $x_{Bn}=(2n+1)\lambda/4$: dort oszilliert die Wellenfunktion von zwischen $-2f_0$ und $2f_0$ (siehe Abbildung~\ref{fig:stehendewelle}).
\begin{figure}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=0.8\linewidth]{figures/stehendewelle.png}
	\end{center}
	\caption{Stehende Welle zu verschiedenen Zeiten.\label{fig:stehendewelle}.}
\end{figure}

\section{Maxwell-Gleichungen}
\label{section:maxwellGlwave}
In einem isotropen dielektrischen Medium mit $\mu_r=1$ (Magnetisierung in einem
Medium ver\"andern sich auf Zeitskalen, die deutlich gr\"oßer sind als die Schwingungsperioden
der Felder einer propagierenden elektromagnetischen Welle):
\begin{eqnarray}
\nabla\cdot \bm{D} = \rho(\bm{r},t) && \bm{D}=\epsilon_r\,\epsilon_0\,\bm{E}\\
\nabla\cdot \bm{B} = 0\\
\nabla\times \bm{E} = -\frac{\partial\bm{B}}{\partial t} && \bm{B}=\mu_r\,\mu_0\,\bm{H} \\
\nabla \times \bm{H} = \frac{\partial \bm{D}}{\partial t} + \bm{j}.
\end{eqnarray}
Zusammen mit der Lorenzkraft $\bm{F}=q(\bm{v}\times\bm{B}+\bm{E})$, dem Ohm'schen
Gesetz $\partial\rho/\partial t=-\nabla\cdot \bm{j}$ und der Beziehungen $\bm{B}=\mu_r\mu_0\bm{H}$ sowie $\bm{D}=\epsilon_0\epsilon_r\bm{E}$ 
k\"onnen wir alle wesentlichen elektromagnetischen Ph\"anomene beschreiben.
\section{Wellengleichung f\"ur elektromagnetische Felder in Vakuum}
Betrachte Wellenausbreitung in einem dielektrischen Medium mit $\epsilon_r>1$, aber 
\textit{ohne freie Ladungen und Str\"ome}:
\begin{eqnarray}
 \nabla\cdot\bm{E}=0 && \nabla\cdot\bm{H}=0\label{eqn:homog} \\
 \nabla\times\bm{E}=-\mu_0\mu_r\frac{\partial H}{\partial t} \label{eqn:rotE}\\
 \nabla\times\bm{H}=\epsilon_r\,\epsilon_0\frac{\partial \bm{E}}{\partial t} \label{eqn:rotH}.
\end{eqnarray}
Wir haben für Fall fehlender Quellen (keine Ströme, keine Ladungen) Differenzialgleichungen mit einer symmetrischen 
Struktur zwischen den elektrischen und den magnetischen Feldern. Wir k\"onnen jetzt die 
Rotation auf beide Seiten von Gleichung \ref{eqn:rotE} anwenden und nutzen die Vektoridentit\"at 
(zu zeigen in den \"Ubungen): 
$\nabla\times(\nabla\times \bm{f})=\nabla\cdot(\nabla\cdot\bm{f})-\Laplace\bm{f}$, ersetzen $\nabla\times \bm{H}$ 
entsprechend in Gl.~\ref{eqn:rotH} und nutzen $\nabla\cdot\bm{E}=0$:
\begin{equation}
\label{eqn:waveE} 
\Laplace\bm{E} = \mu_r\,\mu_0\,\epsilon_r\,\epsilon_0 \frac{\partial^2\bm{E}}{\partial t^2}.
\end{equation}
Diese Gleichung hat die Struktur der bekannten Wellengleichung  $\partial_{xx}u:=v^{-2}\partial_{tt}u$ und wir können direkt Lösungen diskutieren!
\section{Ebene Welle}
Eine L\"osung der Wellengleichung ist 
\begin{equation}\label{eqn:ebenewelle}
\bm{E}(\bm{r},t)=\bm{E}_0\,\sin(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega\,t),
\end{equation}
mit $\bm{k}=2\pi\,\bm{e}_k/\lambda$ ($\bm{e}_k$ ist der Einheitsvektor in der Ausbreitungsrichtung der Welle) und $v=\omega/|\bm{k}|=\omega\,\lambda/(2\pi)=\nu\,\lambda$.
Aus dem Vergleich von
$$\Laplace\,\bm{E}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\bm{E}}{\partial t^2}$$ 
mit Gl.~\ref{eqn:waveE} folgt f\"ur die Ausbreitungsgeschwindigkeit 
(Phasengeschwindigkeit):
$$v=\frac{1}{\sqrt{\mu_r\mu_0\epsilon_r\epsilon_0}}\equiv \frac{c}{n},$$
mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit
$$c:=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}$$
und dem Brechungsindex 
$$n:= \sqrt{\epsilon_r\mu_r}\approx\sqrt{\epsilon_r},$$
weil in der Regel $\mu_r\approx 1$ gilt. Für den Brechungsindex $n$ gilt normalerweise $n>1$, so dass Licht sich in einem Dielektrikum langsamer bewegt als im 
Vakuum (im Allgemeinen ist $n=n(\omega)$ und kann komplexwertig sein, das führt zu Absorption,
siehe auch Abschnitt~\ref{section:dispersion}). \\
Eine analoge Betrachtung l\"asst sich mit dem Magnetfeld anstellen, f\"ur das die Wellengleichung gilt:
$$\Laplace\bm{H}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\bm{H}}{\partial t^2}.$$

\section{Ausbreitung einer ebenen Welle}
Eigenschaften der L\"osung f\"ur eine ebene Welle:
\begin{itemize}
	\item $\bm{E}$ und $\bm{H}$ sind senkrecht zu $\bm{k}$:
	Mit $\nabla\cdot\bm{E}=0$ folgt nach Einsetzen der L\"osung aus Gleichung~\ref{eqn:ebenewelle}:
	$$\nabla(\bm{E}_0\sin(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega\,t))=
	\bm{k}\cdot\bm{E}_0\cos(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega\,t)=\bm{k}\cdot\bm{E}=0.$$
	Die Gleichheit (f\"ur alle $\bm{r}$ und jedes beliebige $t$) ist 
	nur dann erf\"ullt, wenn $\bm{k}\cdot\bm{E}=0$ gilt, also die beiden
	Vektoren senkrecht zueinander stehen. Analog l\"asst sich die
	gleiche Eigenschaft f\"ur $\bm{H}\cdot\bm{k}=0$ zeigen.
	\item $\bm{E}$ und $\bm{B}$ sind senkrecht zueinander und in Phase:
	Mit $\nabla\times\bm{E}=-\partial\bm{B}/\partial t$ und der Gl.~\ref{eqn:ebenewelle} f\"ur $\bm{E}(\bm{r},t)$ ergibt sich
	$$\nabla\times\bm{E}=\bm{k}\times\bm{E}_0\cos(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega\,t).$$
	F\"ur 
	$$\bm{B}(\bm{r},t)=\int\limits_{0}^{t}dt'\,\frac{\partial\bm{B}}{\partial t'}=\int\limits_{0}^{t}dt'\,(-\nabla\times\bm{E})=
	\frac{1}{\omega}\bm{k}\times\bm{E}_0\sin(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega\,t)=\frac{\bm{k}\times\bm{E}}{\omega}.$$
	Die harmonische L\"osung f\"ur die Wellengleichung des Magnetfeldes
	l\"asst sich also schreiben zu $\bm{B}(\bm{r},t)=\bm{B}_0(\bm{r},t)$ mit $\bm{B}_0=\omega^{-1}\,\bm{k}\times\bm{E}_0$: Der 
	Magnetfeldvektor ist also sowohl senkrecht auf $\bm{k}$ als auch auf
	$\bm{E}$. Beide Felder oszillieren in Phase. Der Betrag von $|\bm{B}_0|=B_0$ 
	ist um einen Faktor $k/\omega=1/c$ kleiner als $E_0$. F\"ur den Fall eines Dielektrikums
	mit Brechungsindex $n$ gilt entsprechend der Faktor $n/c$. 
	\item Konvention: Die Richtung des $\bm{E}$-Feldvektors wird als
	die Polarisationsrichtung der elektromagnetischen Welle interpretiert. 
\end{itemize}
\colorlet{crystal}{blue!75}
\def\zangle{-10}
\def\xangle{20}
\begin{figure}

\begin{tikzpicture}[x=(\xangle:0.75cm), y=(90:1cm), z=(\zangle:3.5cm),
>=stealth, line cap=round, line join=round,
lines/.style={gray!50, thick},
axis/.style={black, thick},
plate/.style={fill, opacity=0.875},markers/.style={orange, thick}]
\node [yslant=tan(\zangle), above=0.25cm, align=center,font=\small] at
(1,0.5,1.5){E,B Feldvektoren };
%\draw [lines] (-2,-2,0) -- (-2,2,0) -- (2,2,0) -- (2,-2, 0) -- cycle;
%\draw [lines] (1,0,0) \foreach \t in {0,5,...,360}{
%	-- (2*cos \t, 2*sin \t, 0) } -- cycle;
%\draw [lines] (0,2,0) -- (0,2,3.125);
%\draw [lines] (0,-2,0) -- (0,-2,3.125);
%\draw [lines] (-2,0,0) -- (-2,0,3.125);
%\draw [lines] (+2,0,0) -- (+2,0,3.125);
\draw [axis, ->] (0,0,0.0) -- (0,0,3.125);
\foreach \k [evaluate={%
	\i=\k*5.625;
	\j=\i>0 ? \i : 0;
	\a=90-\i;
	\b=90-\j;
	\c=int(mod(\k,4));}]
in {0,...,192}{
	\ifnum\c=0
	\draw [->] (0,0,\i/360) -- ++(-cos \a/1.3, 0, 0);
	\draw [->,red] (0,0,\i/360) -- ++(0,cos \a/1.3,0);
	\fi
	
}

\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[x=(\xangle:0.75cm), y=(90:1cm), z=(\zangle:3.5cm),
>=stealth, line cap=round, line join=round,
lines/.style={gray!50, thick},
axis/.style={black, thick},
plate/.style={fill, opacity=0.875},markers/.style={orange, thick}]
\node [yslant=tan(\zangle), above=0.25cm, align=center,font=\small] at
(1,0.5,1.5){E Feldvektor, rechtshändig polarisiert  $\leftrightarrow\sigma^+$ };
%\draw [lines] (-2,-2,0) -- (-2,2,0) -- (2,2,0) -- (2,-2, 0) -- cycle;
%\draw [lines] (1,0,0) \foreach \t in {0,5,...,360}{
%	-- (2*cos \t, 2*sin \t, 0) } -- cycle;
%\draw [lines] (0,2,0) -- (0,2,3.125);
%\draw [lines] (0,-2,0) -- (0,-2,3.125);
%\draw [lines] (-2,0,0) -- (-2,0,3.125);
%\draw [lines] (+2,0,0) -- (+2,0,3.125);
\draw [axis, ->] (0,0,0.0) -- (0,0,3.125);
\foreach \k [evaluate={%
	\i=\k*5.625;
	\j=\i>0 ? \i-5.625 : 0;
	\a=90-\i;
	\b=90-\j;
	\c=int(mod(\k,2));}]
in {20,...,152}{
	\ifnum\c=0
	\draw [->] (0,0,\i/360) -- ++(-cos \a/0.5, sin \a/0.5, 0);		
	\fi
	\draw [blue] (-cos \a/0.5, sin \a/0.5, \i/360) -- (-cos \b/0.5, sin \b/0.5, \j/360);	
}
\end{tikzpicture}
\caption{Oberes Bild: Verlauf der Feldvektoren zu einem festen Zeitpunkt: die schwarzen Pfeile deuten das $\bm{B}$-Feld an, die roten Pfeile sind
	das $\bm{E}$-Feld.\label{fig:ebeneWelle}
	Unteres Bild: Verlauf der Polarisation bei einer \textbf{links zirkul\"ar ($\sigma^+$)}  bzw. \textbf{rechtshändig}
	polarisierten Welle.}
\end{figure}

\section{Polarisation}
Eine ebene Welle 
	$$ \bm{E}=\bm{E}_0\,e^{i(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega\,t)},$$
mit Wellenvektor $\bm{k}=k\bm{e}_{z}$ ist
\begin{itemize}
	\item linear polarisiert, wenn	$$\bm{E}_0=E_{0,x}\,\bm{e}_{x}+E_{0,y}\,\bm{e}_{y},$$
	gilt ($E_{0,x}$ und $E_{0,y}$ zeitlich konstant).
	\item elliptisch polarisiert, wenn die beiden Polarisationsrichtungen sich mit einem relativen Phasenunterschied überlagern
		$$E_{0,y}=E_{0,x}e^{i\alpha}.$$
		Für den Fall, dass $\alpha=0,\pm\pi$ ist, erhalten wir eine linear polarisierte Welle mit $45^\circ$ Neigung zur $y$-Achse. 
	\item zirkul\"ar polarisiert, wenn $\alpha=\pm \pi/2$ gilt (Spezialfall der elliptischen Polarisation).
	\item unpolarisiert: es gibt keine Phasenbeziehung zwischen 
	$E_{0,x}$ und $E_{0,y}$ (z.B. thermisches Licht).
\end{itemize}

Anmerkungen: 
\begin{enumerate}
	\item Wenn eine unpolarisierte Welle einen Polarisator durchquert, wird eine Polarisationsebene bevorzugt hindurchgelassen. 
		Wir werden sp\"ater M\"oglichkeiten kennenlernen, durch Doppelbrechung zirkul\"ar polarisiertes Licht zu erzeugen. 

	\item F\"ur den Fall zirkul\"aren (analog für die elliptische) Polarisation unterscheiden wir \textit{links} zirkul\"ar polarisiert  (der elektrische Feldvektor durchl\"auft eine Rotation, die f\"ur einen Beobachter, der die Welle auf sich zukommen sieht, nach links verl\"auft, siehe Abbildung~\ref{fig:ebeneWelle}). Eine 
	\textit{rechts} zirkul\"are Polarisation ist entsprechend nach rechts drehend.  Wir ordnen der Orientierung des Drehung des Feldvektors eine 
		\textit{Händigkeit} zu. Die links zirkuläre Polarisation durchläuft eine rechtshändige Schraube, die rechts zirkuläre  Polarisation durchläuft 
		eine linkshändige Schraube. 

		In der modernen Schreibweise unterscheiden wir die beiden m\"oglichen relativen Orientierungen des $\bm{k}$ und des axialen Vektors der
		Rotation der Polarisationsebene $\bm{\omega}$, so dass 
	wir von einer $\sigma^+$-Welle reden, wenn $\bm{k}\cdot\bm{\omega}>0$ gilt (rechtshändig) und
	 $\sigma^-$, wenn $\bm{k}\cdot\bm{\omega}<0$ gilt (linkshändig).
\end{enumerate}

\section{Energie- und Impulstransport}
Die Energiedichte des elektrischen und magnetischen Feldes kennen wir bereits f\"ur den statischen Fall:
\[ w= \frac{1}{2}\epsilon_r\,\epsilon_0\,\bm{E}^2 + \frac{1}{2}\mu_r\,\mu_0\,\bm{H}^2
  = \frac{1}{2}\epsilon_r\,\epsilon_0\,\bm{E}^2 + \frac{1}{2}\frac{\bm{B}^2}{\mu_r\,\mu_0}.\]

F\"ur eine elektromagnetische Welle ist $|\bm{B}|=n|\bm{E}|/c=\sqrt{\epsilon_r\,\mu_r\,\epsilon_0\,\mu_0}|\bm{E}|$, also
l\"asst sich die Energiedichte in Abh\"angigkeit der elektrischen Feldst\"arke schreiben als 
$$w=\frac{1}{2}\epsilon_r\,\epsilon_0\,\bm{E}^2 + \frac{1}{2}\frac{n^2\bm{E}^2}{c^2\mu_r\mu_0}  =\epsilon_r\,\epsilon_0\,\bm{E}^2.$$
 Um die Leistung pro Fläche zu bestimmen,  betrachten wir ein Volumenelement $dV$ mit der Feldenergie $dU=w\,dV$. Eine ebene Welle, die sich entlang der $x$-Achse bewegt, 
erzeugt einen Leistungsfluss, d.h. die \"Anderung 
der Energie pro Zeitintervall $dt$ und Fl\"achenelement $dA$
$$\frac{dU}{dA\,dt}=\frac{dU}{dA\,dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dU}{dV}\dot{x}=w\,v,$$
mit $v=\dot{x}$. Die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung im Dielektrikum mit
Brechungsindex $n$ ist $v=c/n$, so dass wir f\"ur die Leistung/Fl\"ache erhalten:
$$\frac{dU}{dA\,dt}=w\,\frac{c}{n}=\epsilon_r\,\epsilon_0\,|\bm{E}|\,\frac{|\bm{B}|\,c}{n}\,\frac{c}{n}=|\bm{E}|\,|\bm{H}|.$$
Wir k\"onnen eine neue abgeleitete Gr\"oße einf\"uhren, den \textit{Poynting}-Vektor, der parallel zu $\bm{k}$ definiert ist:
\begin{wichtig}[Poynting-Vektor]
$$\bm{S}:= \bm{E}\times\bm{H}.$$
\end{wichtig}
Die Richtung des Poynting-Vektors entspricht der Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen Welle, der Betrag des Poynting-Vektors ist die Leistung, 
die pro Fl\"acheneinheit (Fl\"achennormale parallel zur Richtung des Poynting-Vektors) transportiert wird.\\
Der so definierte Poynting-Vektor ist im allgemeinen zeit- und ortsabh\"angig. Wir k\"onnen f\"ur den Spezialfall einer harmonischen Welle einen zeitlichen Mittelwert angeben:
$$\langle S\rangle_t=\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}dt\,w\frac{c}{n}=\frac{1}{2}|\bm{S}_0|=\frac{1}{2}\epsilon_r\,\epsilon_0\,\frac{c}{n}\,|\bm{E}_0|^2.$$
Anwendungen:
\begin{itemize}
	\item Kugelwelle: $\bm{E}(\bm{r},t)=\bm{E}(r,t)$ (folgt aus $\bm{k}=k\bm{e}_r$) und
	die Amplitude $|\bm{E}|\propto 1/r$ (folgt aus der L\"osung der Wellengleichung in 
	Kugelkoordinaten), so dass z.B. 
	$$\bm{E}(r,t)=\bm{E}_0\,\frac{1}{r}\,\sin(k\,r-\omega\,t),$$
	damit ist $S\propto |\bm{E}|^2\propto r^{-2}$.
%
	\item Mittlere Feldst\"arke der Sonnenstrahlung: Die Solarkonstante gibt f\"ur die  Leistung pro Fl\"ache $1350$~W\,m$^{-2}$ an - wir setzen daher f\"ur den Betrag des zeitlich gemittelten Poyntingvektors 
	an $\langle S \rangle = 1350~\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m^2}}$: Damit ergibt sich f\"ur
	die Amplitude des elektrischen Feldes
	$$|\bm{E_0}| =\sqrt{\frac{2\,n\,\langle S\rangle}{\epsilon_r\,\epsilon_0\,c}}\approx1~\frac{\mathrm{kV}}{m},$$
	wobei wir annehmen, dass $\epsilon_r\approx 1$ gilt ($n=\sqrt{\epsilon_r}=1,000276$
	f\"ur Luft bei Normaldruck und -temperatur). F\"ur das magnetische Feld ist
	$B_0=E_0\,n/c\approx 3.3\times 10^{-6}~\mathrm{T}$. \textit{Vergleichen Sie das mit dem statischen Magnetfeld an der Erdoberfl\"ache; vergleichen Sie mit der typischen statischen elektrischen Feldst\"arke in der Atmosph\"are}.
%
    \item Strahlungsdruck $$\bm{\Pi} = \frac{n}{c} \bm{S},$$
     so dass $|\bm{\Pi}|=w$ gilt. 
    Der Strahlungsdruck auf einer vollst\"andig reflektierende Oberfl\"ache (Spiegel) ist doppelt so groß wie der \"ubertragene Strahlungsdruck $\Pi_\mathrm{refl}=2\,\Pi$ auf einer absorbierenden Oberfl\"ache. Der vergleichsweise kleine Strahlungsdruck der Sonne (ca. 5~$\mu$Pa auf der Erde) spielt normalerweise keine Rolle. In der Astrophysik hingegen sind viele dynamische Effekte auf den Strahlungsdruck zur\"uckzuf\"uhren, z.B.
    der gekr\"ummte Staubschweif der Kometen.\\
    \textit{Anmerkung}: Der Strahlungsdruck l\"asst sich auch anschaulich auf die Teilcheneigenschaft des Lichtes (Photonen) zur\"uckf\"uhren, bei dem ein jedes Photon
    einen Impuls $\bm{p}=\hbar\,\bm{k}$ tr\"agt ($\hbar=h/(2\pi)$ ist die \textit{Planck-Konstante}: $h=6,62607\times10^{-34}$J~s.
\end{itemize} 

\begin{figure}
	\includegraphics[width=0.39\linewidth]{pictures/halebopp5_aac_big.png}
	\includegraphics[width=0.6\linewidth]{pictures/Newtoned1687_page981.png}
	\caption{ Links: Bild des Kometen \textit{Hale-Bopp} von 1995 (Quelle: A. Dimai - \textit{Astronomical Picture of the Day} (APOD) vom 9.4.2017),
		der besonders hell war. Vergleichbar helle Kometen sind auch historisch belegt: Zum Jahreswechsel 1680/1681 ist der sogenannte
		\textit{große Komet} visuell beobachtet  und dessen Bahn korrekt von I. Newton aus den Beobachtungen errechnet worden. (Quelle: I. Newton,
		\textit{Phil. Nat. Princ. Math.} von 1687, Seite 981.)
	 \label{pic:comet}}
\end{figure}
%
%	\caption{Links: Bild des Kometen \textit{Hale-Bopp} von 1995 (Quelle: A. Dimai - \textit{Astronomical Picture of the Day} (APOD) vom 9.April 2017), der besonders hell war ($m_v=-1$ im Maximum). Vergleichbar helle Kometen sind auch	
%	historisch belegt. Im Jahre 1680 wurde der sogenannte \textit{große Komet} 
%	beobachtet und dessen Bahn korrekt von I. Newton aus den Beobachtungen
%	errechnet (Abbildung rechts: Aus der \textit{Phil. Nat. Princ. Math.}, Edition von 1687, Seite 981). }

\section{Spektrum der elektromagnetischen Wellen}
\label{subsection:spektrum}
Elektromagnetische Wellen sind in sehr unterschiedlichen Wellenl\"angen in der Natur beobachtbar (Abb.~\ref{fig:emspectrum_cartoon}); nicht alle Wellenl\"angen lassen sich im Labor erzeugen. Insbesondere werden die k\"urzesten gemessenen Wellenl\"angen (h\"ochsten Frequenzen) in der Umgebung von kosmischen Beschleunigern erzeugt (siehe das gemessene Spektrum des Krebsnebels in Abbildung~\ref{fig:crab_spec}). \\
Bei großen Wellenl\"angen ist der Nachweis der elektromagnetischen Wellen durch die Messung der zeitlich variierenden Feldst\"arken mit Antennen m\"oglich. Sobald die Wellenl\"ange jedoch kleiner werden als die Abmessungen von Antennen, wird haupts\"achlich die Teilcheneigenschaft der elektromagnetischen Welle f\"ur die Detektion benutzt (ab Wellenl\"angen kleiner als etwa $1~$mm, Ausnahmen sind Heterodyne Detektionsmethoden). 
Hier l\"asst sich einem einzelnen Photon eine
Energiemenge zuordnen, die gegeben ist durch $E=h\,\nu$, wenn $\nu$ die Frequenz $\omega/(2\pi)$ der elektromagnetischen Welle ist ($h$: Planckkonstante, siehe auch vorhergehenden Abschnitt). 
\begin{figure}
	\includegraphics[width=\linewidth]{figures/electromagnetic_spectrum_mod.png}
	\caption{Cartoon f\"ur das elektromagnetische Spektrum (Originalversion unter
		https://xkcd.com/273/)\label{fig:emspectrum_cartoon}}
\end{figure}

\begin{figure}
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{figures/crab_aharonian2004.png}
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{figures/crab_composite.png}
\caption{Linke Abbildung: Energiespektrum (Leistung/Fl\"ache), die wir mit sehr unterschiedlichen Teleskopen von Radiofrequenzen (100 MHz) bis hin zu sehr hochenergetischer
	Gamma-Strahlung ($10^{28}$~Hz) empfangen (Aharonian et al. 2004). Die rechte 
	Abbildung ist ein Mehrfarbenkomposit-Bild, bei der Radio, Infrarot, optische und R\"ontgenbilder des Nebels \"uberlagert sind. In der N\"ahe des Zentrums speist ein 
	schnell rotierender (etwa 33 Umdrehungen pro Sekunde) Neutronenstern (Radius ca. 10 km)
	den expandierenden Nebel (Abbildung: R. Villard, STSI).\label{fig:crab_spec}}
\end{figure}

\section{Erzeugung von elektromagnetischen Wellen: Der Hertz'sche Dipol}
Herleitung: Siehe Theorieteil oder Einf\"uhrungstexte zur Elektrodynamik.\\
Allgemein:\textbf{Die Quellen elektromagnetischer Strahlung sind \textit{beschleunigte}
	elektrische Ladungen (z.B. Bremsstrahlung, Synchrotronstrahlung).}\\
Als Spezialfall betrachten wir einen harmonisch schwingenden Dipol.
\begin{figure}
	\pgfmathsetmacro{\rbm}{3.8}
	\pgfmathsetmacro{\thetabm}{50}
	\pgfmathsetmacro{\phibm}{60}
 \tdplotsetmaincoords{70}{110}
 \begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords]
 \draw[thick,->] (0,0,0) -- (3,0,0) node[anchor=north east]{$x$};
 \draw[thick,->] (0,0,0) -- (0,3,0) node[anchor=north west]{$y$};
 \draw[thick,->] (0,0,0) -- (0,0,3) node[anchor=south]{$z$};
 \draw[line width=1.8,color=red,->] (0,0,0) -- (0,0,0.8) node[anchor=east]{$\bm{p}_0$};
 \tdplotsetcoord{P}{\rbm}{\thetabm}{\phibm}
 \coordinate (O) at (0,0,0);
 %draw a bmtor from origin to point (P)
 \draw[line width=1.8,-stealth,color=black] (O) -- (P) node[anchor=south]{$\bm{r}$};
 %draw projection on xy plane, and a connecting line
 \draw[dashed, color=black] (O) -- (Pxy);
 \draw[dashed, color=black] (P) -- (Pxy);
 \tdplotdrawarc[->]{(O)}{1.2}{0}{\phibm}{anchor=north}{$\phi$}
 \tdplotsetthetaplanecoords{\phibm}
 \tdplotdrawarc[->,tdplot_rotated_coords]{(0,0,0)}{1.2}{0}{\thetabm}{anchor=south west}{$\vartheta$}
 \tdplotsetrotatedcoords{\phibm}{\thetabm}{0}
 \tdplotsetrotatedcoordsorigin{(P)}
%\draw[thick,tdplot_rotated_coords,->] (0,0,0) -- (-1.723,1.0,0);
 %\draw[thick,tdplot_rotated_coords,->] (0,0,0) -- (0,0,1.0) node{$z$};
 \draw[thick,tdplot_rotated_coords,->,color=brown] (0,0,0) -- (0,1.0,0.0) node[anchor=west]{$\bm{B}\propto \bm{p}_0\times\bm{r}$};
 \draw[thick,tdplot_rotated_coords,->,color=blue] (0,0,0) -- (1,0,0) node[anchor=north]{$\bm{E}$};
 
 \end{tikzpicture}
 \includegraphics[width=0.4\linewidth]{figures/hertz_dipol.png}
 \caption{Koordinatensytem, Feldvektoren (linke Abbildung), zeitabh\"angige Feldlinien (rechte Abbildung).\label{fig:dipole_radiation}}
\end{figure}

Mit $q\equiv |q_+|=|q_-|$ in harmonischer Schwingung mit Amplitude $a$
 in $z$-Richtung um den 
Koordinatenursprung, so dass f\"ur  $q_+$ die Bewegungsgleichung $z_+(t)=a\sin(\omega\,t)$
und f\"ur $q_-$ die entsprechende Gleichung $z_-(t)=-a\sin(\omega\,t)$ gilt. Das resultierende Dipolmoment ist zeitabh\"angig mit 
$$\bm{p}(t)=q(z_+-z_-)\,\bm{e}_z=
\underbrace{2\,q\,a\,\bm{e}_z}_{\equiv\bm{p}_0}\,\sin(\omega\,t),$$
so dass wir das Dipolmoment $\bm{p}(t)=\bm{p}_0\sin(\omega\,t)$ schreiben k\"onnen. Die
entsprechende Stromdichte ist $\bm{j}=\dot{\bm{p}}=\omega\,\bm{p}$ Die
L\"osung f\"ur das resultierende zeitlich abh\"angige elektrische und magnetische Feld 
muss ber\"ucksichtigen, dass das Feld zum Zeitpunkt $t$ im Abstand $r$ durch \"Anderungen
des Dipols zum Zeitpunkt $t-r/c$ bewirkt werden. Deswegen werden \textit{retardierte} Potenziale verwendet. Die resultierenden Felder lassen sich in der Nahzone und in der \textit{Wellenzone} unterscheiden:
\begin{itemize}
	\item Nahzone (Abstand $r\ll\lambda=2\pi/k$): Hier ist das Feld sehr \"ahnlich zu dem statischen Fall und nahezu phasengebunden ($k\,r\ll 2\pi$):
	  \begin{itemize}
	  	\item Elektrisches Feld:
	  
	\begin{eqnarray}
	\bm{E}(\bm{r},t)&\approx& \frac{1}{4\pi\epsilon_0\,r^3}\left(-\bm{p}(t-r/c)+
	3\frac{(\bm{p}(t-r/c)\cdot\bm{r})\cdot\bm{r}}{r^2}\right)=\\
	&&\frac{1}{4\pi\,\epsilon_0\,r^3}
	\left( \bm{p}_0 - \frac{3(\bm{p}_0\cdot\bm{r})\,\bm{r}}{r^2}
	\right)\sin(k\,r-\omega\,t),
	\end{eqnarray}
	mit $\sin(\omega(t-r/c))=-\sin(kr-\omega\,t)$.
	In der Nahzone f\"allt die Feldst\"arke mit $r^{-3}$ (analog zum
	statischen Dipolfeld) ab. 
	\item Magnetisches Feld:
	\begin{equation}
	\label{eqn:nahzone}
	\bm{B}(\bm{r},t)=\frac{1}{4\pi\,\epsilon_0\,c^2\,r^3}\dot{\bm{p}}\times\bm{r}=
	\frac{\omega}{4\pi\,\epsilon_0\,c^2\,r^3}  \bm{p}_0\times \bm{r}\,
	\cos(\omega\,t-k\,r).
	\end{equation}
	%\todo{hier fehlt noch ein Faktor aus der Ableitung!}
	Das Magnetfeld erf\"ullt die Bedingungen, dass es senkrecht zu den beiden Feldkomponenten von $\bm{E}$ (entlang $\bm{p}_0$ und $\bm{r}$) steht (azimuthales Feld). Die Feldst\"arke f\"allt mit $\sin\vartheta$ ab ($\vartheta$ ist
	der Winkel zwischen $z$-Achse und dem Ortsvektor $\bm{r}$). Das magnetische Feld 
	oszilliert mit einem Phasenunterschied von $\pi/2$ zum elektrischen Feld.
\end{itemize}
	\item Wellenzone (Abstand $r\gg \lambda$, $r\gg a$): Das Feld in der Nahzone
	(Gl.~\ref{eqn:nahzone}) f\"allt rasch ($|\bm{E}|\propto 1/r^3$) ab. Die zeitlich variablen Felder erzeugen jedoch
	sekund\"are Felder, die in Phase oszillieren, mit $1/r$ abfallen und entsprechend bei gr\"oßeren Abst\"anden 
	dominieren:
	\begin{equation}
	 \bm{E}(\bm{r},t)=\frac{k^2}{4\pi\,\epsilon_0\,r}\left(
	 \frac{\bm{p}_0\cdot\bm{r}}{r^2}\bm{r}-\bm{p}_0
	 \right)\sin(k\,r-\omega\,t)
	 \end{equation}
	 \begin{equation}
	 \bm{B}(\bm{r},t)=\frac{1}{4\pi\,\epsilon_0\,c^3\,r^2}\ddot{\bm{p}}\times\bm{r}=
	 \frac{k^2}{4\pi\,\epsilon_0\,c\,r}
	 \left(\frac{\bm{p}_0\times\bm{r}}{r}\right)\sin(k\,r-\omega\,t)
	\end{equation}
	\end{itemize}
	Die Ausrichtung der Felder und die zeitliche Entwicklung der Dipolfelder ist in Abbildung~\ref{fig:dipole_radiation} dargestellt.

	Die \textbf{instantan abgestrahlte Leistung} l\"asst sich mit dem Poynting-Vektor bestimmen:
	\begin{equation}
	\bm{S}=\frac{1}{\mu_0}\bm{E}\times\bm{B}=\frac{c\,k^4}{16\pi^2\,\epsilon_0\,r^2}
	\left(
	\bm{p}_0^2-\frac{(\bm{r}\cdot\bm{p}_0)^2}{r^2}
	\right)\sin^2(k\,r-\omega\,t)\frac{\bm{r}}{r}.
	\end{equation}
	Zeitlich gemittelt ist $\langle\sin^2(k\,r-\omega\,t)\rangle=1/2$ und 
	$\bm{p}_0^2-(\bm{r}\cdot\bm{p}_0)^2/r^2=\sin^2 \vartheta$ (der Winkel $\vartheta$ wird von $\bm{r}$ und $\bm{p}_0$ aufgespannt: $\bm{r}\cdot\bm{p}_0=
	r\,p_0\cos\vartheta$). Damit ergibt sich 
	\begin{equation}
	\langle \bm{S}\rangle = \frac{c\,k^4\,p_0^2\,\sin^2\vartheta}{32\pi^2\,\epsilon_0\,r^2}\frac{\bm{r}}{r},
	\end{equation}
	entlang der Richtung des Dipols ($\theta=0,\pi$), wird keine Leistung abgegeben.
	
	\begin{figure}
		\includegraphics[width=0.45\linewidth]{figures/polar_1.png}
		\includegraphics[width=0.45\linewidth]{figures/polar_2.png}
		\caption{\label{fig:polar}Der Dipol bewegt sich entlang der Richtung bei $0^\circ$. Links: Der Dipol ist parallel zur Bewegungsrichtung, rechts: der Dipol ist senkrecht zur Bewegungsrichtung ausgerichtet.}
	\end{figure}
	Die \"uber eine geschlossene Fl\"ache integrierte abgestrahlte Leistung ergibt sich zu:
	\begin{equation}
	\frac{dW}{dt}=\oint d\bm{A}\cdot\langle \bm{S}\rangle = \frac{p_0^2\,\omega^4}{12\pi\,\epsilon_0\,c^3}.
	\end{equation}
	Anmerkungen:
	\begin{itemize}
		\item Beschleunigte Ladungen strahlen Energie ab, bei einer Beschleunigung $\ddot{z}$ ist 
		$$ \frac{dW}{dt}=\frac{q^2\,\ddot{z}^2}{6\pi\,\epsilon_0\,c^3},$$
		(\textbf{Larmor-Gleichung} \index{Larmor-Gleichung}). Das entsprechende Feld in der Strahlungszone l\"asst sich
		anschaulich mit der Abbildung~\ref{fig:mtw} erkl\"aren: Die 
		durch die Beschleunigung bewirkte \"Anderung des Feldes propagiert 
		mit endlicher Geschwindigkeit, so dass es eine transversale Welle geben muss, die
		die modifizierten Feldlinien mit den noch nicht modifizierten Feldlinien stetig verbindet. Der Dipol ist ein Spezialfall.
		\item $\langle S\rangle \propto \sin^2\theta$, im Falle einer relativistischen
		Bewegung des Dipols wird ein ruhender Beobachter eine transformierte
		Abstrahlung sehen.
		In Abbildung~\ref{fig:polar} sind die Effekte relativistischer Bewegung eines Dipolstrahlers dargestellt. 
		\item N\"aherung: Strahlungseffekte bei Bewegung einer Ladung in \"außeren Feldern -
		$\bm{F}=q(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B})$ - die Bewegung ist beschleunigt, die Strahlungseffekte (und deren Einfluss auf die Bewegung) wird \"ublicherweise vernachl\"assigt, siehe auch die Diskussion in Jackson (Abschnitt 17).
	\end{itemize}
	\begin{figure}
		\includegraphics[width=0.8\linewidth]{figures/mtw_accelerated.png}
		\caption{\label{fig:mtw}Die Feldstruktur um eine beschleunigte Ladung (aus Misner, Thorne und Wheeler).}
	\end{figure}
	
	\section{Stehende elektromagnetische Welle}
	Nachdem wir gesehen haben, dass sich eine elektromagnetische Welle mit $v=c/n$ ausbreitet, betrachten wir das Ph\"anomen einer \textit{stehenden} Welle.\\
	Hierzu betrachten wir eine ideale Leiterfl\"ache bei $z=0$ mit
	Fl\"achennormale entlang der $z$-Achse.  Eine in $z$-Richtung einlaufende ebene elektromagnetische Welle der Form
	\begin{math}
	    \bm{E}_e(z,t)=E_{0,e}\,\bm{e}_x\,\cos(\omega\,t-k\,z)
	\end{math}
	erzeugt eine reflektierte Welle
	\begin{math}
	    \bm{E}_r(z,t)=\bm{E}_{0,r}\cos(\omega\,t+k\,z+\varphi).
	\end{math}
	Wie wirkt sich die Randbedingung an der Leiteroberfl\"ache ($z=0$) aus? 
	Wir fordern, dass $\bm{E}(z=0,t)=0$ f\"ur alle Zeiten $t$ gelten muss:
	$$ E_{0,e}\,\bm{e}_x\,\cos(\omega\,t)+\bm{E}_{0,r}\,\cos(\omega\,t+\varphi)=0$$
	ist nicht-trivial nur erf\"ullbar, wenn $\varphi=0$ und 
	$$\bm{E}_{0,r}=-E_{0,e}\,\bm{e}_x=:E_0\,\bm{e}_x$$
	gilt. Daraus ergibt sich f\"ur die Welle im Raum vor der reflektierenden Schicht:
	$$\bm{E}(z,t)=E_0\,\bm{e}_x[\cos(\omega\,t-k\,z)-\cos(\omega\,t+k\,z)].$$
	Die Funktion l\"asst sich umstellen mit $\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\,\cos\beta\mp\sin\alpha\,\sin\beta$ zu
	$$\bm{E}(z,t)=2\,E_0\,\bm{e}_x\sin(k\,z)\,\sin(\omega\,t).$$
	Wir erhalten also eine \textit{stehende Welle}, bei der es keine Phasenbeziehung zwischen
	Zeit und Ort mehr gibt. 
	\\
	Wir k\"onnen mit den Maxwellgleichungen die dazugeh\"origen Magnetfelder ausrechnen:
	Mit $\nabla\times\bm{E}=-\partial_t\bm{B}$ f\"ur $E_y=E_z=0$:
	$\nabla\times\bm{E}=\partial_z\,E_x\bm{e}_y = -\partial_t\,B_y\bm{e}_y.$ Wir leiten 
	unsere stehende Welle also nach der $z$-Koordinate ab:
	$$\frac{\partial E_x}{\partial z}=2\,E_0\,k\,\cos(k\,z)\sin(\omega\,t)$$
	und integrieren dann \"uber die Zeit, um $B_y$ zu erhalten:
	$$B_y = 2\,E_0\frac{k}{\omega}\cos(k\,z)\,\cos(\omega\,t)=2\,\frac{E_0}{c}\cos(k\,z)\,\cos(\omega\,t)=2B_0\cos(k\,z)\,\cos(\omega\,t),$$
	mit $B_0:=E_0/c$.
	Das sich ergebende Bild der Felder ist in Abb.~\ref{fig:standingem} skizziert: 
	Das B-Feld erreicht sein Maximum an der Oberfl\"ache, das elektrische Feld ist immer um
	eine Phase $\pi/2$ dazu verschoben.

	\begin{figure}	
		\begin{tikzpicture}[x=(\xangle:0.75cm), y=(90:1cm), z=(\zangle:3.5cm),
		>=stealth, line cap=round, line join=round,
		lines/.style={gray!50, thick},
		axis/.style={black, thick},
		plate/.style={fill, opacity=0.875},markers/.style={orange, thick},
		reflector/.style={fill=black!60!white, opacity=0.3}]
		\node [yslant=tan(\zangle), above=0.25cm, align=center,font=\small] at
		(1,0.5,1.5){E,B Feldvektoren };
		\draw [axis, ->] (0,0,0.0) -- (0,0,3.5);
		\foreach \k [evaluate={%
			\i=\k*5.625;
			\j=\i>0 ? \i : 0;
			\a=90-\i;
			\b=90-\j;
			\c=int(mod(\k,4));}]
		in {0,...,192}{
			\ifnum\c=0
			\draw [->] (0,0,\i/360) -- ++(-sin \a, 0, 0);
			\draw [->] (0,0,\i/360) -- ++(sin \a,0,0);
			\draw [->,red] (0,0,\i/360) -- ++(0,cos \a,0);
			\draw [->,red] (0,0,\i/360) -- ++ (0,-cos \a,0);
			\fi
			}
		\filldraw[reflector] (-1.5,-1.5,3.125) -- (1.5,-1.5,3.125) -- (1.5,1.5,3.125) -- (-1.5,1.5,3.125) -- (-1.5,-1.5,3.125)
			node[below, sloped, near end]{Reflektor};
		
		\end{tikzpicture}
		\caption{Eine stehende Welle (rot: elektrische Feldvektoren, schwarz: magnetische
			Feldvektoren, skaliert).\label{fig:standingem}}
				\end{figure}

				
%%%%%%%%%%%%%%
	\section{Wellenausbreitung in Wellenleitern}
	Bislang haben wir ebene Wellen in Vakuum betrachtet. 
	Bei der Reflexion an einer Leiterfl\"ache k\"onnen wir z.B. eine freie Welle in eine stehende Welle umwandeln. Die Randbedingungen \"andern die L\"osung der Wellengleichung dramatisch.
	\subsection{Wellenausbreitung auf einem Doppelleiter (Telegraph)}
	Wir betrachten den Aufbau in Abbildung~\ref{fig:doppelleiter} und analysieren
	die zeitabh\"angigen Str\"ome und Felder. Die auf dem Leiter fließenden Str\"ome
	erzeugen ein Magnetfeld zwischen den Leitern. Nach außen wird dieses Feld sich 
	in erster N\"aherung aufheben (wenn der Abstand zu den Dr\"ahten groß wird 
	gegen\"uber dem Abstand der beiden Dr\"ahte zueiander). 
	Die Ladungsverteilung auf den Dr\"ahten erzeugt ebenfalls ein elektrisches Feld, das 
	auch in großer Entfernung schnell abf\"allt. Entsprechend sind Verluste \"uber Strahlung
	in dieser Konfiguration deutlich gegen\"uber einem einzelnen Draht reduziert (da w\"aren
	wir wieder bei einem Hertz'schen Dipol). Die Felder sind zeitlich variabel und werden
	 von der Spannungsquelle bei einer Frequenz $\omega$ getrieben.\\
	 Zur weiteren Analyse k\"onnen wir mit einem Ersatzschaltbild (Fig.~\ref{fig:doppelleiter}, unten) im Grenzfall einer kontinuierlichen Induktivit\"at
	 $L^*$ und einer kontinuierlichen Kapazit\"at $C*$ (jeweils pro L\"angeneinheit $\ell$:
	 $L^*:=L/\ell$ und $C^*:=C/\ell$) uns ein Drahtst\"uck der L\"ange $dx$ zwischen
	 den Punkten $x$ und $x+dx$ betrachten. 

	 

	 \begin{figure}
	 	\begin{center}
	 		
	 	
	 	\begin{tikzpicture}
	 	\pgfmathsetmacro{\ey}{0.1}
	 	  \draw (0,0.1) -- (4,0.1);
	 	  \draw (0,0.2) -- (4,0.2);
	 	  \draw (0,2.1) -- (4,2.1);
	 	  \draw (0,2.2) -- (4,2.2);
	 	  \draw (0,0.15) ellipse (0.025 and 0.05);
	 	  \draw (0,2.15) ellipse (0.025 and 0.05) node[anchor=south]{$I(x)$};
	 	  \draw (4,0.15) ++(90:0.05) arc (90:-90:0.05);
  	 	  \draw (4,2.15) ++(90:0.05) arc (90:-90:0.05) node[anchor=south]{$I(x+dx)$};
  	 	  \draw (0,1.0) node[anchor=east]{$U(x)$};
  	 	  \draw (4,1.0) node[anchor=west]{$U(x+dx)$};
  	 	  \draw[pattern=north west lines,pattern color=blue](0,0.20) rectangle (4,2.09);
	 	  \draw [->] (0,-0.5) -- (4.5,-0.5);
	 	  \draw (0,-0.5) -- (0,-0.4) node[anchor=south]{$x$};
	 	  \draw (4,-0.5) -- (4,-0.4) node[anchor=south]{$x+dx$};
	 	\end{tikzpicture}
	 \end{center}
	 \caption{Skizze eines Abschnittes der beiden parallel verlaufenden Kabel (zwischen $x$ und $x+dx$, der obere Leiter trage den Strom $I(x)$ und die Potenzialdifferenz
	 	zwischen den beiden Leitern sei $U(x)$.  Die schraffierte Fl\"ache ist das
	 	Fl\"achenelement, das zwischen den beiden Leitern aufgespannt wird und f\"ur
	 	das wir den Fluss $\phi_B=\oint d\bm{A}\cdot \bm{B}$ bestimmen.\label{fig:sketch_wires}}
	 \end{figure}
	 Der Strom im Kabel $I(x)$ variiert zu einer festen Zeit $t$ zwischen $I(x)$ und $I(x+dx)$ (siehe Abbildung~\ref{fig:sketch_wires}), der damit einhergehende
	 Ladungstransport ist
	 \begin{eqnarray}
	 \label{eqn:induc}
	 \frac{\partial Q}{\partial t}&=&I(x)-I(x+dx)=I(x)-
	 \left[I(x)+\frac{\partial I}{\partial x}\,dx\right]=-\frac{\partial I}{\partial x}\,dx.
	 \end{eqnarray}
Entsprechend gilt f\"ur die Ladungen, die von Kapazit\"aten gehalten wird ($Q=C\,U$):
\begin{eqnarray}
\label{eqn:capa}
\frac{\partial Q}{\partial t} &=& 
 \frac{\partial (C\,U)}{\partial t}=
C\frac{\partial U}{\partial t}=C^*\,dx\frac{\partial U}{\partial t}.
\end{eqnarray}
Wir k\"onnen die Gleichungen~\ref{eqn:induc} und \ref{eqn:capa} gleichsetzen und
erhalten:
\begin{eqnarray}
\label{eqn:prep_double1}
 -\frac{\partial I}{\partial x}&=&C^*\frac{\partial U}{\partial t}.
\end{eqnarray}
Wir betrachten die Spannungen, die durch den zeitlich ver\"anderlichen magnetischen Fluss
zwischen den Leitern induziert werden (wir ignorieren Spannungsabf\"alle aufgrund 
von Ohm'schen Widerst\"anden):
\begin{eqnarray}
\label{eq:voltage1}
\frac{\partial \Phi_m}{\partial t}&=&U(x)-U(x+dx)=
U(x)-\left[U(x)+\frac{\partial U}{\partial x}dx\right]=-\frac{\partial U}{\partial x}dx.
\end{eqnarray}
Andererseits ist $\Phi_m=L\,I$ bzw.
\begin{eqnarray}
\label{eq:voltage2}
\frac{\partial \Phi_m}{\partial t}&=&L^*\,dx\frac{\partial I}{\partial t}.
\end{eqnarray}
Aus der Gleichheit von Gln.~\ref{eq:voltage1} und \ref{eq:voltage2} ergibt sich:
\begin{eqnarray}
\label{eqn:prep_double2}
-\frac{\partial U}{\partial x}&=&L^*\frac{\partial I}{\partial t}.
\end{eqnarray}
Wir differenzieren jetzt Gl.~\ref{eqn:prep_double1} partiell nach der Zeit und
Gl.~\ref{eqn:prep_double2} partiell nach $x$ 
\begin{eqnarray*}
-\frac{\partial^2 I}{\partial x\,\partial t}&=&C^*\frac{\partial^2 U}{\partial t^2},\\
-\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}        &=&L^*\frac{\partial^2 I}{\partial t\,\partial x};
\end{eqnarray*}
und k\"onnen dann aus der Gleichheit bedingt durch die vertauschbare Reihenfolge
der Differenziation nach der Zeit und des Ortes 
eine Wellengleichung aufschreiben:
\begin{equation}
 \frac{\partial^2 U}{\partial t^2}-\frac{1}{L^*\,C^*}\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}=0.
\end{equation}
Aus dem Vergleich mit der bekannten Wellengleichungen ergibt sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit zu 
\begin{equation}
v^2 = \frac{1}{L^*\,C^*}.
\end{equation}
Analog l\"asst sich auch eine Wellengleichung f\"ur den Strom ableiten:
\begin{equation}
\frac{\partial^2 I}{\partial t^2}-\frac{1}{L^*\,C^*}\frac{\partial^2 I}{\partial x^2}=0.
\end{equation}
\begin{figure}
	\begin{center}
	    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{figures/lecher_leybold.png}
    \end{center}
    \caption{Skizze der zeitlichen Entwicklung von Ladung und Str\"omen f\"ur
    	die Lecherleitung und die resultierende Feldkonfiguration (Quelle: Leybold-Materialien).}
\end{figure}

Die Felder transportieren die Energie durch das Dielektrikum zwischen den Leitern. Das 
elektrische Feld ist an der Leiteroberfl\"ache verankert. Dieses physikalische Bild
unterscheidet sich grundlegend von der naiven Betrachtung, bei der die Energie im Innern
des Leiters \"ubertragen wird.
	\begin{figure}
\begin{center}
	
		\begin{tikzpicture}
	    \node[anchor=east,font=\small] at (0,1){$U(t)$};
	    \draw[->] (2.5,2.1) -- (3.0,2.1) node[anchor=south east]{$I$};
	    \draw[<-] (2.5,-0.1) -- (3.0,-0.1) node[anchor=north east]{$I$};
	    \draw[<-] (4.5,2.1) -- (5.0,2.1) node[anchor=south east]{$I$};
	    \draw[->] (4.5,-0.1) -- (5.0,-0.1) node[anchor=north east]{$I$};
		\draw[*->] (0,2) -- (8,2);% node[anchor=west]{$\infty$};
		 \draw[*->] (0,0) -- (8,0);% node[anchor=west]{$\infty$};
%		 \node[font=\small, anchor=north east] at (8,0){$x$};
%		 \foreach \x [evaluate={%
 %	                \a=\x*10;
%		 	\i=4.0+1.0*sin \a;}]
%		  in {-9,...,9}{
%		 	\draw[->] (\i,2) -- (\i,0);}
	\end{tikzpicture}

\begin{circuitikz}
	\node[anchor=east,font=\small] at (0,1){$U(t)$};
	\draw (0,2) to[L,l=$L$,*-] (2,2) to[L,l=$L$] (4,2) to[L,l=$L$] (6,2) to[L,l=$L$] (8,2);
	\draw (2,0) to[C,l=$C$,*-*] (2,2);
		\draw (4,0) to[C,l=$C$,*-*] (4,2);
			\draw (6,0) to[C,l=$C$,*-*] (6,2);
				
	\draw (0,0) to[L,l=$L$,*-] (2,0) to[L,l=$L$] (4,0) to[L,l=$L$] (6,0) to[L,l=$L$] (8,0);
\end{circuitikz}
		\end{center}
		\caption{Doppelleiter an einer Wechselspannungsquelle: Aufbau mit offenem Ende (oben) Ersatzschaltbild (unten)\label{fig:doppelleiter}.}	
	\end{figure}
	\subsection{Lecherleitung} Wir k\"onnen f\"ur zwei parallele 
	Kupferdr\"ahte mit Radius $r$ im Abstand $d$ zueinander die spezifische Induktivit\"at
	$$L^*=\frac{\mu_r\,\mu_0}{\pi}\ln\left(\frac{d-r}{r}\right),$$
	und die spezifische Kapazit\"at
	$$C^*=\frac{\pi\,\epsilon_r\,\epsilon_0}{\ln\left(\frac{d-r}{r}\right)}$$
	angeben (\"Ubung), 
	die lediglich von der Geometrie und von $\epsilon_r$ und $\mu_r$ abh\"angen.
	Die resultierende Ausbreitungsgeschwindigkeit 
	$$v=\frac{1}{\sqrt{L^*\,C^*}}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_r\,\epsilon_0\,\mu_r\,\mu_0}}=\frac{c}{n}$$
	ist hingegen unabh\"angig von der Geometrie und h\"angt lediglich von
	dem Dielektrikum ab ($n\approx \sqrt{\epsilon_r}$ f\"ur $\mu_r\approx 1$). 


	\subsection{Koaxialkabel}

	Die Lecherleitung und die in Deutschland noch immer weitverbreitete verdrillte \textit{twisted pair} Kabel mit verdrillten Kupferdr\"ahten sind einfache und robuste
	Wellenleiter mit D\"ampfungswerten bei einer Frequenz von 600~Mhz von -50 dB/100~m. 
	Bessere D\"ampfungswerte lassen sich mit hochwertigen Koaxialkabeln auch zu h\"oheren Frequenzen erzielen. \\
	Die Geometrie eines einfachen Koaxialkabels besteht aus einem inneren Leiter mit 
	Radius $r_i$ und einer konzentrischen \"außeren H\"ulle (z.B. eine d\"unne Folie oder auch ein 
	Drahtgeflecht) mit Außenradius $r_a$ (siehe Abbildung~\ref{fig:hs} f\"ur ein Bild mit verschiedenen Koaxialkabeln). Im Zwischenraum befindet sich ein Dielektrikum ($\epsilon_r$). Auch hier lassen sich wieder die spezifische Induktivit\"at
	$$ L^*=\frac{\mu_r\,\mu_0}{2\pi}\ln\left(\frac{r_a}{r_i}\right)$$
	und die spezifische Kapazit\"at
	$$ C^*=\frac{2\pi\,\epsilon_r\,\epsilon_0}{\ln(r_a/r_i)}.$$
	Auch hier berechnet sich die Geschwindigkeit f\"ur die Ausbreitung von Wellen 
	in einem Koaxialkabel zu 
	$$v=\frac{1}{\sqrt{C^*\,L^*}}=\frac{c}{n}$$
	mit $n=\sqrt{\epsilon_r\,\mu_r}\approx\sqrt{\epsilon_r}$. Konkret ist f\"ur ein
	Polyethylen-Dielektrikum f\"ur RG-58 Kabel $C^*=100$~pF/m, $L^*=250$~nH/m, so dass
	die Geschwindigkeit $v=2\times 10^{8}$m~s$^{-1}$ oder $n=1.5$ gilt (entspricht einer
	Laufzeit von 5~ns pro Meter).
	\begin{figure}
		\includegraphics[width=0.49\linewidth]{figures/hs.png}
		\includegraphics[width=0.49\linewidth]{figures/cat7.png}
		\caption{Links: mehrere unterschiedliche
			Koaxialkabeltypen (www.hubersuhner.com).
			Rechts: Kategorie-7 Twisted pair (Quelle: Kabelscheune)\label{fig:hs}}
	\end{figure}
	\subsection{Zusammenhang von Strom und Spannung: Wellenimpedanz}
	F\"ur die diskutierten Wellenleiter l\"asst sich ein Wellenwiderstand (oder auch
	Wellenimpedanz) in Einheiten von Ohm angeben, die analog zur herk\"ommlichen Impedanz definiert ist:
	$$Z:=\frac{U}{I}.$$
	F\"ur eine harmonische Welle, also z.B. 
	$$I(t,x)=I_0\,\sin(k\,x-\omega\,t),$$
	$$U(t,x)=U_0\,\sin(k\,x-\omega\,t)$$
	und mit 
	$$-\frac{\partial I}{\partial x}=C^{*}\,\frac{\partial U}{\partial t}$$ 
	ergibt sich f\"ur den Zusammenhang von $I_0$ und $U_0$
	$$-\frac{\partial I}{\partial x}=-I_0\,k\,\cos(k\,x-\omega\,t)=C^{*}\,\frac{\partial U}{\partial t}=-C^*\,U_0\,\omega\,\cos(k\,x-\omega\,t),$$
	so dass sich f\"ur das Verh\"altnis von $U_0/I_0$ ergibt
	$$Z=\frac{U}{I}=\frac{U_0}{I_0}=\frac{k}{\omega\,C^*}=\frac{k}{k\,v\,C^*}=\frac{\sqrt{L^*\,C^*}}{C^*}=\sqrt{\frac{L^*}{C^*}}.$$
	\textit{Beispiel: Wellenwiderstand f\"ur ein Koaxialkabel}\\
	Mit 
	$$L^*=\frac{\mu_r\,\mu_0}{2\pi}\ln\left(\frac{r_a}{r_i}\right)$$
	und 
	$$C^*=\frac{2\pi\,\epsilon_r\,\epsilon_0}{\ln\left(\frac{r_a}{r_i}\right)}$$
	ist 
	$$Z=\sqrt{\frac{L^*}{C^*}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu_0\mu_r}{\epsilon_r\epsilon_0}}
	\ln\left(\frac{r_a}{r_i}\right),$$
	f\"ur unser RG-58 Koaxialkabel ist $Z=50~\Omega$, nahezu unabh\"angig von der 
	Frequenz im Frequenzbereich zwischen $\mathcal{O}(\mathrm{kHz})$ und 
	$\mathcal{O}(\mathrm{GHz})$. \\
	\textit{Anmerkungen:} 
	\begin{itemize}
		\item Wir ordnen dem Vakuum formal einen sogenannten \textit{Feldwiderstand} zu $Z_F=\sqrt{\mu_0/\epsilon_0}=370~\Omega$. 
		\item Ein nicht-idealer Wellenleiter hat zus\"atzlich Ohm'sche Widerst\"ande 
		(z.B. Widerstand/L\"ange $R^*$), so dass die Amplituden ged\"ampft werden. 
		Wie z.B. in Sommerfeld Band III, Par. 18.21 gezeigt wird, gilt f\"ur den Strom
		$$I=I_0\,\exp(-\alpha\,x)~f(x-ct/n)$$ mit einer Abklingkonstante $\alpha=R^*/Z$. 
		Eine M\"oglichkeit, die D\"ampfung zu reduzieren, ist eine Erh\"ohung der Impedanz
		$Z$.
		\item Der Poynting-Vektor im Koaxialkabel ist nur im Dielektrikum (und einer 
		geringen Randschicht der Leiter) ungleich null. Das Feld ist auf das Volumen zwischen den Leitern beschr\"ankt und propagiert dort. 
		\item Der Widerstand $R^*$ \"andert sich mit der Frequenz aufgrund des Skineffekts, so dass die Verluste im Koaxialkabel mit zunehmender Frequenz ansteigen (z.B.
		hat ein RG-58-Kabel eine D\"ampfung von etwa -20 dB/100 m bei 100 MHz, bei 
		einem GHz liegt die D\"ampfung bereits bei -60 dB/100 m.)\footnote{die dB-Skala
			gibt eine relative \"Anderung an, wobei $x$dB eine \"Anderung um einen 
			Faktor $10^{x/10}$ entspricht.}  
	\end{itemize}

\subsection{Reflexion am Kabelende}
\begin{figure}
	
	\begin{circuitikz}
		\draw (0,0) node[ground] {};
		\draw (0,0) to[vco,l=$U(t)$] (0,5) to (3,5);
		\draw [dotted](3,5) to (8.2,5);
		\draw (3,4.5) to (8,4.5);
		\draw (3,5.5) to (8,5.5);
		\draw (8.2,5) to (10,5) to[R,l=$R$] (10,3) to (9,3) to (9,4.5) to[short,-*] (8,4.5);
		\draw (3,5) ellipse (0.2 and 0.5);
		\draw (8,5) ellipse (0.2 and 0.5);
		\draw (0,1) to[short,*-] (3,1) to[short,-*] (3,4.5);
	\end{circuitikz}
	\caption{Skizze eines Schaltkreises mit einem Koaxialkabel\label{fig:koax2}.}
\end{figure}

Wir betrachten einen Wellenleiter mit dem Wellenwiderstand $Z_w$, so dass eine einlaufende
Welle 
sich mit einer reflektierten Welle
\"uberlagert. Am Kabelende verbinden wir die beiden Leiter mit einem Ohm'schen Widerstand 
$R$ (siehe Abb.~\ref{fig:koax2}), so dass dort ein Strom $I_R$ flie\ss t bei einem Spannungsabfall $U_R$.

Das Verhältnis von Spannung und Strom auf dem Wellenleiter ist gegeben durch:
$$ Z_w = \frac{U_\mathrm{in}}{I_\mathrm{in}} = \frac{U_\mathrm{re}}{I_\mathrm{re}}.$$
Andererseits gilt für das Verhältnis von Spannung und Strom am Lastwiderstand
$$ R   =\frac{U_\mathrm{in} + U_\mathrm{re}}{I_R},$$
wobei nach der Knotenregel $I_R = I_\mathrm{in}-I_\mathrm{re}$ gilt, so dass
$$ R =  \frac{U_\mathrm{in} + U_\mathrm{re}}{I_\mathrm{in}-I_\mathrm{re}}.$$
Zusammen mit $I_\mathrm{in}=U_\mathrm{in}/Z_w$ und $I_\mathrm{re}=U_\mathrm{re}/Z_w$ formen wir um:
$$ R\left(\frac{U_\mathrm{in}}{Z_w} - \frac{U_\mathrm{re}}{Z_w}\right) = U_\mathrm{in} + U_\mathrm{re}.$$
Wir bringen die Terme mit $U_\mathrm{re}$ und $U_\mathrm{in}$ jeweils auf eine Seite:

$$ U_\mathrm{in}\left(\frac{R}{Z_w} - 1\right) = U_\mathrm{re}\left(1+\frac{R}{Z_w}\right).$$
Damit l\"asst sich sofort das Verh\"altnis der reflektierten Amplitude der Spannung zu der einlaufenden
Amplitude angeben, diese Gr\"o\ss e nennen wir $\rho$: der Reflexionsfaktor. 
$$ \rho:=\frac{U_\mathrm{re}}{U_\mathrm{in}} = \frac{R-Z_w}{R+Z_w}.$$
Wir k\"onnen damit verschiedene Sonderf\"alle diskutieren:
\begin{enumerate}
	\item offenes Kabelende  $R\rightarrow \infty$: $\rho\rightarrow 1$ (unabh\"angig von
	$Z_w$) - das Signal wird vollst\"andig reflektiert.
	\item kurzgeschlossenes Kabelende $R\rightarrow 0$: $\rho \rightarrow -1$ (unabh\"angig von $Z_w$) - das Signal wird \textit{invertiert} und vollst\"andig reflektiert (entspricht einem Phasensprung von $\Delta \varphi=\pi$, siehe auch
	Seilwelle mit fixiertem Ende).
	\item angepasster Endwiderstand: $R=Z_w$ $\rightarrow$ $\rho=0$. Der Endwiderstand ist \textit{angepasst}, so dass der Widerstand sich wie ein unendlich langes Kabel verh\"alt.
\end{enumerate}

\textit{\textcolor{blue}{ Zum Weiterlesen: Suchen Sie im Internet Informationen zum sogenannten \textbf{Smith}-Diagramm. Überlegen Sie sich, wo Sie die drei betrachteten Fälle im 
	Smith-Diagram wiederfinden. Was gibt es noch im Smith-Diagramm zu entdecken?}}

\subsection{Grenzen der Wellenleitung: Skineffekt}
\label{skineffekt}\index{Skineffekt}
Bislang haben wir die Effekte \textit{innerhalb} eines Leiters ignoriert und sind
vom Idealfall ausgegangen, dass im Leiter die elektrischen Felder instantan durch
Bewegung der freien Ladungstr\"ager verschwinden. Tats\"achlich ist diese Betrachtung f\"ur den Grenzfall kleiner Frequenzen (Elektrostatik)
und idealer Leiter eine gute N\"aherung. 
Mit zunehmenden Frequenzen m\"ussen wir jedoch diese N\"aherung durch eine zeitabh\"angige Betrachtung ersetzen. \\
Hier betrachten wir exemplarisch den sogenannten \textit{Skin}effekt (siehe Abbildung~\ref{fig:skineffekt}). Die durch die zeitlich variierenden Str\"ome erzeugten
elektrischen Wirbelfelder sind der Stromrichtung entgegengesetzt und reduzieren 
den Strom im Kabelinnern. Der Strom fließt effektiv nur noch in einer Oberfl\"achenschicht (\textit{skin} oder auch Haut) mit Dicke 
\begin{equation}
\label{skin_depth} 
\delta = \sqrt{\frac{2\,\rho}{\omega\,\mu_0 \mu_r}}.
\end{equation}
\textbf{Beispiele:} 
\begin{itemize}
	\item 
Wir betrachten einen Leiter mit spezifischem 
Widerstand $\rho$ der L\"ange $l$ und Radius $r_i$. F\"ur Gleichspannung l\"asst sich der Ohm'sche Widerstand 
$$R=\rho\frac{l}{\pi\,r_i^2}$$
berechnen. F\"ur den Fall einer Wechselspannung erh\"oht sich der Widerstand (ohne Ableitung) zu
$$R(\omega)=\rho\frac{2l}{\pi\,r_i\,\delta}.$$
\"Ahnliches gilt im Falle eines Koaxialkabels f\"ur den \"außeren Leiter, hier ist jedoch $r_a\gg \delta$. Um also auch hochfrequente Signale ohne Ohm'sche Verluste 
zu \"ubertragen, bieten sich \textit{Hohlleiter} an. Historisch sind diese Leiter 
fr\"uher diskutiert worden, jedoch aufgrund der hohen Grenzfrequenz technisch nicht einsetzbar gewesen (entsprechend hohe Frequenzen ließen sich nicht generieren).
 	\item 
 Für Kupferkabel ist der spezifische Widerstand  $\rho = \sigma^{-1} = (5.8\times 10^{7}~\mathrm{S~m^{-1}})^{-1}$ und $\mu_r=1$, so dass für eine Frequenz $f$ 
 $$ \delta \approx 2~\mu\mathrm{m} \left(\frac{\mathrm{GHz}}{f}\right)^{0.5},$$
und damit de Stromdichte im Leiter exponenziell im Abstand $z$ vom Rand des Leiters abfällt $j(z)=j(0)\exp(-z/\delta)$.
\end{itemize}
%\tikzset{
%	MyPersp/.style={scale=1.8,x={(-0.8cm,-0.4cm)},y={(0.8cm,-0.4cm)},
%		z={(0cm,1cm)}},
%	%  MyPersp/.style={scale=1.5,x={(0cm,0cm)},y={(1cm,0cm)},
%	%    z={(0cm,1cm)}}, % uncomment the two lines to get a lateral view
%	MyPoints/.style={fill=white,draw=black,thick}
%}
%\begin{figure}
%	\begin{center}
%	\begin{tikzpicture}[MyPersp]
%	\draw[magenta,very thick](1,0,0)
%	  \foreach \t in {5,10,...,360}
%	  	{--({cos(\t)},{sin(\t)},0)}--cycle;
%	 \draw[magenta,very thick](1,0,3)
%	  \foreach \t in {5,10,...,360}
%	  	{--({cos(\t)},{sin(\t)},3)}--cycle;
%	  \draw[magenta] ({cos(-45)},{sin(-45)},0)
%	  --({cos(-45)},{sin(-45)},{3});
%	  \draw[magenta] ({cos(135)},{sin(135)},0)
%	  --({cos(135)},{sin(135)},{3});
%	  \draw[->,very thick](1.5,1.5,2.5) -- (1.5,1.5,3.0);
%	% \draw (1.0,0,2.75) 
%	%	 \foreach \t in {5,10,...,360}
%	%	 {\draw (--({cos(\t)},{sin(\t)},2.75),2.75)}--cycle;
%	  
%	 
%	  		\end{tikzpicture}
 %\end{center}
\begin{figure}
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{Graphiken/drawing_skineffect.png}
\caption{Ein Leitersegment: Im Leiter fließt ein zeitlich harmonisch variierender Strom $j(t)$ in Pfeilrichtung. \label{fig:skineffekt}
	Mit zunehmender Frequenz steigt die zeitliche \"Anderung des magnetischen
	Flusses, wodurch  elektrische Wirbelfelder erzeugt werden, die im Kabelinnern
	der Stromrichtung entgegengesetzt sind und die Stromdichte zur Kabelmitte hin
	abfallen lassen. Im Grenzfall großer Frequenzen wird lediglich an der Oberfl\"ache und in Oberfl\"achenn\"ahe der elektrische Strom geleitet. 
	\textit{Todo: Wirbelfelder einzeichnen in tikzpicture}}
\end{figure}

\subsection{Wellenleitung in Hohlleitern}
Wir betrachten zun\"achst einen Hohlleiter mit rechteckigem Querschnitt mit 
Kantenl\"angen $a$ und $b$. Das Koordinatensystem w\"ahlen wir so, dass die
$x$-Achse entlang der Kante mit L\"ange $a$ verl\"auft. Die $y$-Achse l\"auft entsprechend  entlang der Kantenl\"ange $b$. Der Ursprung ist entlang der Schnittlinie (siehe Skizze~\ref{fig:hohlleiter}) gew\"ahlt, so dass der Hohlleiter Wellen in die $\pm z$-Richtung leitet. Die W\"ande des Hohlleiters sind aus einem Leiter gefertigt, so dass wir Ohm'sche Verluste vernachl\"assigen k\"onnen (siehe auch Diskussion im 
vorangehenden Abschnitt zu Skineffekten). F\"ur die Randbedingungen ergeben sich deswegen verschwindende parallele Felder an der Leiteroberfl\"ache:

$$E_{y,z}(x=0,y,z)=E_{y,z}(x=a,y,z)=0,$$
$$E_{x,z}(x,y=0,z)=E_{x,z}(x,y=b,z)=0,$$
wobei $E_{x}$, $E_y$, $E_z$ die Feldkomponente in $x,y,z$-Richtung sind. \\
Gleichzeitig muss die Wellengleichung 
$$\frac{\partial^2}{\partial t^2}\bm{E} = c^2\Laplace \bm{E}$$ erf\"ullt sein. 
Wir k\"onnen eine Welle der Form
$$\bm{E}=\bm{E}_0 e^{-i(\bm{k}\cdot \bm{r}-\omega\,t)}$$
annehmen und erhalten damit 
$$\omega^2 = c^2 \bm{k}^2 = c^2(k_x^2+k_y^2+k_z^2).$$
Damit die Randbedingungen erf\"ullt sind, m\"ussen die Wellenzahlen in $x$, und 
$y$-Richtung diskrete Werte annehmen, so dass
$$k_x = m\frac{\pi}{a},\,\, k_y=n\frac{\pi}{b}$$
gilt mit $m,n=1,2,3,\ldots$

Damit die Welle in der $z$-Richtung propagiert, muss $k_z^2>0$ gelten (ansonsten
w\"are $k_z$ imagin\"ar und die Welle w\"urde nicht propagieren (setzen Sie zur
Probe ein 
imagin\"ares $k$ im Argument der ebenen Welle ein), damit ergibt sich
$$c^2\,k_z^2 = \omega^2-c^2(k_x^2+k_y^2)$$
eine Grenzfrequenz ($k_x>0$ und $k_y>0$ aus der Randbedingung):
$$\omega_g^2=c^2 (k_x^2+k_y^2)=c^2\left(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2}\right).$$
Das entspricht einer Grenzwellenl\"ange
$$\lambda_g = c\frac{2\pi}{\omega_g}=\frac{2}{\sqrt{\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2}}}
\approx \frac{2b}{n},$$
f\"ur $a\gg b$: Die Wellenl\"ange für eine sich ausbreitende Welle darf nicht gr\"oßer als $\lambda_g\approx 2\,b$ sein. \\
Aus diesem Grund waren Hohlleiter erst technisch relevant, als Signale mit entsprechend
kleiner Wellenl\"ange generiert werden konnten (z.B. dm-Wellenl\"angen).

Wir wollen jetzt die \textbf{Ausbreitungsgeschwindigkeiten von Wellen} in einem Hohlleiter betrachten. Im Falle einer freien ebenen Welle ist 
die Phasengeschwindigkeit $$v_\mathrm{ph}=\frac{\omega}{k}$$ identisch mit der Gruppengeschwindigkeit $$v_\mathrm{gr}=\frac{d\omega}{dk}.$$  

\begin{figure}
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	 \draw(0,0,0) -- (0,3,0) -- (5,3,0) --(5,0,0) --cycle;
	 \draw(0,0,0) -- (2,3,0);
	 \draw(0,3,0) -- (2,6,0);
	 \draw(5,3,0) -- (7,6,0);
	 \draw(5,0,0) -- (7,3,0);
	 \draw(7,6,0) -- (7,3,0);
	 \draw(2,6,0) -- (7,6,0);
	 \draw(4.5,6,0) node[anchor=south]{$a$};
	 \draw(7,4.5,0) node[anchor=west]{$b$};
	 \draw[-{Latex[length=5mm,width=2mm]}](0,0,0) -- (1.5,0,0) node[anchor=north east]{$x$};
	 \draw[-{Latex[length=5mm,width=2mm]}](0,0,0) -- (0,1.5,0) node[anchor=south west]{$y$};
	\draw[-{Latex[length=5mm,width=2mm]}](0,0,0) -- (-0.83205,-1.248075,0) node[anchor=west]{$z$};	 
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\caption{Skizze eines Hohlleiters mit rechteckigem Querschnitt - Wahl des 
	 Koordinatensystems \label{fig:hohlleiter}.}
	\end{figure}
Im Hohlleiter ist jedoch der Wellenvektor $\bm{k}$ nicht parallel zu der Ausbreitungsrichtung der Welle, sondern entsprechend um die nicht-verschwindenden Anteile $k_x$, $k_y$ verkippt
%\todo{sketch}. 
Hieraus ergibt sich dann f\"ur die Phasengeschwindigkeit
$$v_\mathrm{ph}=\frac{\omega}{k_z}=\frac{\omega}{\frac{\omega}{c}\sqrt{1-\frac{c^2}{\omega^2}(k_x^2+k_y^2)}},$$
so dass f\"ur $\omega>\omega_\mathrm{g}$ entsprechend $v_\mathrm{ph}>c$ gilt!

Bevor wir uns wundern, schauen wir uns die Gruppengeschwindigkeit an:
$$v_\mathrm{gr}=\frac{d\omega}{dk_z}=c^2\frac{k_z}{\omega}=c^2\frac{1}{v_\mathrm{ph}},$$
so dass also immer sichergestellt ist (siehe auch Abbildung~\ref{fig:groupvel})
$$v_\mathrm{gr}\,v_\mathrm{ph}=c^2. $$

\begin{figure}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=0.7\linewidth]{figures/vph_gr.png}
	\end{center}
	\caption{Gruppen- und Phasengeschwindigkeit f\"ur einen Hohlleiter als
		Funktion der Kreisfrequenz $\omega$. F\"ur $\omega<\omega_{g}$ k\"onnen
		Wellen nicht im Hohlleiter propagieren, sie werden ged\"ampft ($k_z^2<0$)
		\label{fig:groupvel}.}
\end{figure}

\section{Wellen in Materie (Dielektrika): Dispersion und Absorption}
\label{section:dispersion}
Zur Erinnerung: wir haben bereits festgestellt, dass die Phasengeschwindigkeit einer
ebenen Welle in einem Dielektrikum gegeben ist durch
$$v_\mathrm{ph}=\frac{c}{n}=\frac{c}{\sqrt{\mu_r\,\epsilon_r}}.$$
Wir beschr\"anken uns auch weiterhin auf die makroskopische Beschreibung des Mediums
und vernachl\"assigen Streuprozesse von Photonen im Medium wie z.B. Compton-Streuung, die f\"ur eine Betrachtung der mikroskopischen Vorg\"ange relevant sind.  Weiterhin nehmen wir an, dass das Medium mit $\epsilon_r$ vollst\"andig beschrieben ist, bzw.
dass $\mu_r\approx 1$ gilt. Diese N\"aherung ist sicherlich brauchbar, solange die
Frequenzen ausreichend hoch sind, so dass die Magnetisierung im Medium zu langsam 
auf die oszillierenden \"außeren Felder reagiert, bzw. wir betrachten 
dia- und paramagnetische Materialien. 

Was passiert beim \"Ubergang einer ebenen, harmonischen Welle von Vakuum 
($\epsilon_r=1$) in ein Dielektrikum ($\epsilon_r>1$)?

Die Oszillationsfrequenz $\nu$ des elektrischen Feldes ist im Dielektrikum unver\"andert und erzeugt eine oszillierende Polarisation. Wir kennen die Ausbreitungsgeschwindigkeit im
Dielektrikum und k\"onnen also f\"ur die Wellenl\"ange $\lambda'$ im Medium schließen:
$$\lambda'\,\nu=\frac{c}{n},$$
also $$\lambda'=\frac{c}{n\,\nu}=\frac{\lambda}{n}.$$

Eine ebene Welle in $z$-Richtung, die ein homogenes und isotropes Dielektrikum der Dicke $\Delta z$ mit realwertigem Brechungsindex $n$ durchquert,  erf\"ahrt einen Phasenunterschied bedingt durch die l\"angere Laufzeit der Welle 
im Medium gegen\"uber Vakuum $\Delta t$ (siehe auch Abbildung~\ref{fig:plot_wave}): 

$$\bm{E}(z,t)=\bm{E}_0\, e^{i(k\,z-\omega\,(t+\Delta t))},$$
mit $\Delta t=(n-1)\Delta z/c$ ergibt
$$\bm{E}(z,t)=\bm{E}_0\, e^{i(k\,z-\omega\,t)}\, e^{-i\omega\frac{\Delta z}{c}(n-1)}
              =\bm{E}_0\, e^{i(k\,z-\omega\,t)}\, e^{-i\Delta\varphi},$$
              mit $\Delta \varphi = \omega(n-1)\Delta z/c$.
Im allgemeinen Fall hat der Brechungsindex zum einen eine Frequenzabh\"angigkeit
und kann auch einen imagin\"aren Anteil enthalten, der zur Absorption f\"uhrt. 

Wir schauen uns hierzu als Motivation die zeitabh\"angige Polarisation an, die die
Elektronen im Medium erfahren. Hierzu stellen wir zun\"achst die Bewegungsgleichung einer Ladung im \"außeren Feld auf (wir vereinfachen die Bewegung in eine Richtung):

$$m_e\ddot{x} + b\dot{x}+Dx=-eE_0 e^{i\omega\,t},$$
wobei wir annehmen, dass das Elektron in einem Potenzial gebunden ist, dass f\"ur 
kleine Auslenkungen eine lineare R\"uckstellkraft erzeugt (Konstante $D$). Außerdem
nehmen wir an, dass es eine geschwindigkeitsabh\"angige \textit{Reibungs}kraft gibt
mit $b\dot{x}$. Die Gleichung entspricht einem angeregten harmonischen Oszillator mit
Reibung, in Normalform
$$\ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega_0^2x=-\frac{e}{m_e}E_0e^{i\omega\,t},$$
mit der freien Frequenz $\omega_0^2:=D/m_e$ und $\gamma:=b/m_e$. Nach dem
Einschwingvorgang wird das Elektron mit der Frequenz des anregenden Feldes $\omega$
oszillieren und wir k\"onnen als L\"osung ansetzen
$$x(t)=x_0\,e^{i\omega\,t},$$
nach Einsetzen in die Normalform der Bewegungsgleichung k\"onnen wir $x_0$ bestimmen
(zur \"Ubung nachrechnen) und erhalten:
$$x(t)=-\frac{e}{m_e} \frac{E_0\,e^{i\omega\,t}}{(\omega_0^2-\omega^2)+i\gamma\,\omega}.$$
\begin{figure}
	\begin{center}
	\includegraphics[width=0.8\linewidth]{figures/plt_wave.png}
\end{center}
\caption{\label{fig:plot_wave}Momentanaufnahme der elektrischen Feldamplitude beim
	\"Ubergang von Vakuum in ein Medium mit $n=1.5$ und anschließend wieder
	zur\"uck in Vakuum. Die gestrichelte Linie entspricht dem Verlauf der 
	Feldamplitude f\"ur den Fall, dass kein Dielektrikum vorhanden w\"are und
	verdeutlicht den resultierenden Phasenversatz.}
\end{figure}
Das oszillierende Elektron erzeugt ein Dipolmoment eines einzelnen Atoms
$p(t)=-e\,x(t)$ mit einer resultierenden makroskopischen Polarisation
$P(t)=p(t)\,N$, wobei $N$ die Anzahldichte der Elektronen ist. Andererseits ist die Polarisation (im linearen Fall) gegeben durch $P=(\epsilon_r-1)\epsilon_0\,E(t)$, so dass wir f\"ur die relative Dielektrizit\"atskonstante $\epsilon_r$ erhalten:
$$\epsilon_r(\omega)=1+\frac{e^2\,N}{\epsilon_0\,m_e} \frac{1}{(\omega_0^2-\omega^2)+i\gamma\omega}.$$
Offensichtlich hat der resultierende Brechungsindex $n=\sqrt{\epsilon_r}$ einen 
imagin\"aren Anteil, so dass wir allgemein 
$$n=n'-i\kappa$$
schreiben. Der imagin\"are Anteil $\kappa$ sorgt f\"ur Absorption beim Durchgang durch
ein Dielektrikum wie sich leicht zeigen l\"asst. Wir setzen erneut eine ebene Welle an
$$\bm{E}(z,t)=\bm{E}_0\, e^{i(k\,z-\omega\,(t+\Delta t))},$$
mit $\Delta t=(n-1)\Delta z/c=(n'-i\kappa-1)\Delta z/c$, so dass
$$\bm{E}(z,t)=\bm{E}_0\, e^{i(k\,z-\omega\,t)}\,e^{i\Delta \varphi}\,e^{-\frac{\alpha}{2}\Delta z},$$
mit $\alpha:=2\kappa\,\omega/c$. Die Wahl des Vorfaktors ergibt Sinn, wenn wir
uns den Energiefluss $|\bm{s}|$ anschauen:
$$|\bm{s}|=\frac{1}{2} \epsilon_0 |\bm{E}_0|^2=\frac{1}{2}\epsilon_0|\bm{E}_0|^2\,e^{-\alpha\Delta z},$$
also einem exponentiellen Abfall des Energieflusses \"uber die L\"ange $\alpha^{-1}$. 
Dieser Zusammenhang wird auch als das \textit{Lambert-Beert'sches} bezeichnet.
Der Imagin\"arteil von $n$ beschreibt also die Absorption. Wir k\"onnen $n'$ und
$\kappa$ auch explizit aus unserem Modell bestimmen (zur \"Ubung nachrechnen):
$$ n' = 1+\frac{N\,e^2}{2\epsilon_0\,m_e} \frac{\omega_0^2-\omega^2}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\omega^2}$$
$$ \kappa = \frac{N\,e^2}{2\epsilon_0\,m_e} \frac{\gamma\,\omega}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\omega^2}.$$

In Abbildung~\ref{fig:anormale} ist $n'$ zusammen mit $\alpha$ in der Umgebung
von $\omega_0$ dargestellt. Die Absorption ist nur im Bereich der anomalen Dispersion
relevant und erreicht sein Maximum f\"ur $\omega=\omega_0$. 
\begin{figure}
	\begin{center}
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{figures/plot_nprime.png}
\end{center}
\caption{Realteil der Dispersion $n'$ (oberes Diagramm): Außerhalb des rot 
	unterlegten Bereichs ist die Dispersion \textit{normal}, d.h. $dn'/d\omega>0$. 
	Im rot schraffierten Bereich (zwischen $\omega_0-\gamma/2$ und 
	$\omega_0+\gamma/2$) ist die Dispersion \textit{anomal}, d.h. $dn'/d\omega<0$.
	Der Absorptionskoeffizient $\alpha$ (unteres Diagramm) tr\"agt nur innerhalb des Bereichs der anomalen
	Dispersion bei und erreicht sein Maximum bei $\omega=\omega_0$.\label{fig:anormale}}
\end{figure}

Im allgemeinen haben Dielektrika nicht nur eine freie Oszillationsfrequenz sondern
mehrere. In diesem Fall l\"asst sich der Ausdruck f\"ur $\epsilon_r$ verallgemeinern:
$$\epsilon_r(\omega)=1 + \frac{e^2}{\epsilon_0\,m_e}
\sum\limits_{i} \frac{N_i\,f_i}{\omega_{0,i}^2-\omega^2+i\gamma_i\,\omega},$$
wobei wir es dann mit mehreren freien Frequenzen $\omega_i$ mit zugeh\"origen
Ladungsdichten $N_i$ und D\"ampfungskonstanten $\gamma_i$ zu tun haben. Die
Oszillatoren werden jeweils durch eine Oszillatorst\"arke $f_i$ gewichtet, f\"ur 
die gilt $\sum\,f_i=1$. 

\subsection{Einschub: Metalle und Plasmen (freie Ladungen)}
Im Gegensatz zum Dielektrikum sind die Ladungen in Metallen und in Plasmen frei, d.h. 
die freie Oszillationsfrequenz $\omega_0\rightarrow 0$. Somit ergibt sich f\"ur 
$$\epsilon_r = 1-\frac{N\,e^2}{\epsilon_0\,m_e}\frac{1}{\omega^2-i\gamma\,\omega}.$$
Wenn wir f\"ur eine guten Leiter weiterhin annehmen, dass die D\"ampfungskonstante
$\gamma\ll\omega$ ist, k\"onnen wir die Plasmafrequenz 
$$\omega_p:=\frac{e^2\,N}{\epsilon_0\,m_e}$$
definieren und damit ergibt sich f\"ur 
$$n^2=\epsilon_r = 1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2},$$
so dass ein Leiter (Metall oder auch Plasma) transparent ist ($n^2>0$) f\"ur
$\omega>\omega_p$ und intransparent $n^2<0$ f\"ur $\omega>\omega_p$. 

\textbf{Beispiel Kupfer:} F\"ur Kupfer k\"onnen wir die Plasmafrequenz absch\"atzen, indem wir mit der spezifischen Leitf\"ahigkeit $\sigma=6\times 10^{7}$ A~(Vm)$^{-1}$
 die mittlere Stoßzeit absch\"atzen:
 $$\sigma = \frac{N\,e^2}{m_e}\tau$$
 und erhalten $\tau=2,7\times 10^{-14}$~s, damit ist 
 $$\omega_p=\sqrt{\frac{\sigma}{\tau\,\epsilon_0}}=1,6\times10^{16}~\mathrm{s}^{-1}.$$
Das entspricht einer Wellenl\"ange von 120~nm - Kupfer wird f\"ur UV-Licht $\lambda<120$~nm transparent!

\textbf{Beispiel Ionosph\"are:} Die Erde ist von einer strukturierten Ionosph\"are umgeben. Ein typischer Wert f\"ur die Elektrondichte in der Ionosph\"are ist
$N=10^{12}$~m$^{-3}$, damit ergibt sich eine Plasmafrequenz von 
$\omega_p = 5,6\times10^{7}$~s$^{-1}$ bzw. $\nu=\omega/2\pi\approx 9$~MHz. 
Ab ca. 9~MHz wird die Ionosph\"are transparent, f\"ur kleinere Frequenzen hingegen wirkt
die Ionosph\"are wie ein Spiegel, an dem Kurzwellen reflektiert werden. 

\textbf{Beispiel Wasser:}
Die Eigenschaften von Wasser sind ein Beispiel f\"ur die Komplexit\"at der
Eigenschaften von Dielektrika. Das Wassermolek\"ul hat ein permanentes Dipolmoment, so 
dass zum einen der Brechungsindex $n'$ zu hohen Frequenzen $\nu>10$~GHz rasch abf\"allt (anomale Dispersion) und zum anderen zeigt Wasser eine extrem große Dynamik f\"ur die Absorption (siehe Abbildung~\ref{fig:water}), die, unterbrochen von der offensichtlich
transparenten Eigenschaft im optischen Band, ein Maximum im Bereich der Plasmafrequenz
bei etwa $5\times 10^{15}$~Hz erreicht.

\begin{figure}
	\parbox{0.48\linewidth}{
	\includegraphics[width=\linewidth]{figures/water.png}
	}
\parbox{0.48\linewidth}{
\caption{Brechungsindex von Wasser (oberes Diagramm) und inverse Absorptionsl\"ange $\alpha$ (unteres Diagramm): Bemerkenswert ist der dynamische Bereich der 
	Absorptionsl\"ange. Der Absorptionskoeffizient $\alpha$ ist maximal bei 
	$\nu\approx 5\times 10^{15}$~Hz, das entspricht der Plasmafrequenz bei der 
	im Falle von Wasser kollektive Effekte wichtig werden. Der Koeffizient 
	ist um einen Faktor  $\approx 10^{-9}$ kleiner im benachbarten sichtbaren Bereich (Quelle: Jackson 3. Auflage, page 315).\label{fig:water}}}
\end{figure}

\subsection{Konsequenzen von $n(\omega)$}
Wir betrachten  ein dielektrisches Medium bei Frequenzen in der Umgebung
von $\omega_0$. F\"ur die
Phasengeschwindigkeit $v_\mathrm{ph}=c/n'$ gilt f\"ur 
$\omega_0<\omega<\omega_0+0.5\gamma$, dass $n'<1$ und somit $v_\mathrm{ph}>c$. 
Die Gruppengeschwindigkeit $v_\mathrm{gr}$ ist:
$$v_\mathrm{gr}=\frac{d\omega}{dk}=\frac{d(v_\mathrm{ph}\,k)}{dk}=v_\mathrm{ph}+
k\frac{dv_\mathrm{ph}}{dk}.$$ 
Nach etwas Umformung (siehe z.B. Demtr\"oder, Gl. 8.24) ergibt sich 
$$v_\mathrm{gr}=\frac{c}{n'+\omega (dn'/d\omega)}.$$
In Abbildung~\ref{fig:nprime2} ist der Verlauf der Gruppen- und Phasengeschwindigkeit
in der Umgebung von $\omega_0$ zu sehen. In der Region normaler Dispersion ist 
die Gruppengeschwindigkeit $v_\mathrm{gr}<c$, wohingegen bei Frequenzen mit
anomaler Dispersion die Gruppengeschwindigkeit $v_\mathrm{gr}>c$ ist. Tats\"achlich 
ist experimentell best\"atigt, dass z.B. Gauß'sche Wellenpakete schneller als
mit Vakuumlichtgeschwindigkeiten durch ein Medium propagieren k\"onnen, Signale jedoch aufgrund subtiler Eigenschaften von Wellenpaketen werden jedoch nur mit Geschwindigkeiten kleiner $c$ \"ubertragen\footnote{Siehe 
	z.B. die Diskussion in Chiao and Steinberg, Progr. in Optics, 345-405 (1997).}.
Eine Diskussion der Signalgeschwindigkeiten (auch im Zusammenhang mit der
sogenannten Tunnelgeschwindigkeit in der Quantenmechanik) geht \"uber den Inhalt
dieser Vorlesung hinaus (siehe auch die letzte Fußnote). 
\begin{figure}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=0.6\linewidth]{figures/plot_nprime2.png}
	\end{center}
	\caption{Verlauf der Gruppen- und Phasengeschwindigkeit (in Einheiten 
		der Lichtgeschwindigkeit $c$).\label{fig:nprime2}}
\end{figure}

Eine f\"ur unsere weitere Betrachtung wesentliche Kosequenz der Dispersionsrelation
$n(\omega)$ ist die \textbf{Brechung} oder auch \textbf{Refraktion} von ebenen Wellen, die die Grundlage der geometrischen Optik (siehe auch n\"achstes Kapitel) bildet.
%
\section{Reflexion und Brechung (Refraktion) an Grenzfl\"achen}


\begin{figure}
\tikzset{winkel/.style={draw=gray,angle eccentricity=.6,angle radius=1.2cm},
	mybox/.style={draw=gray,fill=white,align=left,text width=.9\linewidth}}
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\draw[-{Latex[length=5mm,width=2mm]}](4,0) -- (4,8) node[anchor=east]{$y$};
	\draw[-{Latex[length=5mm,width=2mm]}](0,4) -- (8,4) node[anchor=north]{$x$};
	\draw (4,4) -- (4,6) coordinate (D);
	\draw (4,4) -- (4,0) coordinate (E);
	\draw (0,7) coordinate (B) -- (4,4) coordinate (A) -- (8,7) coordinate (C)
	 pic[pic text=$\alpha$,winkel]{angle=D--A--B}
	 pic[pic text=$\alpha^\prime$,winkel]{angle=C--A--D};
	\draw (4,4) --++ (-56.3099:4.5) coordinate (F) pic[pic text=$\beta$,winkel]{angle=E--A--F};
	\node[draw] at (0,4.5) {$n_1$};
	\node[draw] at (0,3.5) {$n_2>n_1$};
	\draw[->,line width=0.7mm,blue] (0,7) --++ (-36.869898:2.5) node[anchor=south]{$\bm{k}_e$};
	\draw[->,line width=0.5mm,blue] (0,7) --++ (-90:1.5) node[left]{$k_{e,y}$};
	\draw[->,line width=0.5mm,blue] (0,5.5) --++ (0:2) node[anchor=north east]{$k_{e,x}$};
	 \draw[->,line width=0.7mm,blue] (6,5.5) --++ (36.869898:2.5) node[anchor=south east]{$\bm{k}_r$};
	 \draw[->,line width=0.5mm,blue] (6,5.5) --++ (0:2) node[anchor=north west]{$k_{r,x}$};
	 \draw[->, line width=0.5mm,blue] (8,5.5) --++ (90:1.5) node[right]{$k_{r,y}$};
	 \draw[->, line width=0.7mm,blue] (5,2.5) --++ (-56.309932:1.8) node[anchor=south west]{$\bm{k}_g$};
	 \draw[->,line width=0.5mm,blue] (5,1.0023095) --++ (0:0.99846035) node[anchor=north]{$k_{g,x}$};
	 \draw[->,line width=0.5mm,blue] (5,2.5) --++ (-90:1.4976905) node[anchor=east]{$k_{g,y}$}; 
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\caption{Brechung und Reflexion an einer Grenzschicht zweier isotroper Medien
		mit Brechungsindex $n_1$ f\"ur $y>0$ und $n_2$ f\"ur $y\le0$. \label{fig:snell}}
\end{figure}
Wir betrachten die Situation in Abbildung~\ref{fig:snell}: Eine einlaufende ebene Welle mit Wellenvektor $\bm{k}_e$ in der $(x,y)$-Ebene wird zum Teil reflektiert 
(Wellenvektor $\bm{k}_r$) und zum Teil wird die Welle sich im Medium mit Brechungsindex
$n_2>n_1$ ausbreiten (Wellenvektor $\bm{k}_g$). \\
Wir k\"onnen den Wellenvektor $\bm{k}_e$ in seine Komponenten zerlegen
$$k_{e,z}=0; k_{e,x}=|\bm{k}_e|\,\sin\alpha; k_{e,y}=|\bm{k}_e|\,\cos\alpha.$$
Ebenso k\"onnen wir unter Kenntnis der Winkel $\alpha^\prime$ und $\beta$ die
weiteren Wellenvektoren zerlegen: 
$$k_{r,x}=|\bm{k}_r|\,\sin\alpha^\prime; k_{r,y}=|\bm{k}_r|\,\cos\alpha^\prime,$$
$$k_{g,x}=|\bm{k}_g|\,\sin\beta; k_{g,y}=|\bm{k}_g|\,\cos\beta.$$

Weiterhin muss die  Feldkomponente parallel zur Grenzschicht f\"ur alle Punkte
auf der Grenzschicht, also $\bm{r}_E=(x,0,z)^T$ einen stetigen Verlauf haben zwischen $y<0$ und $y>0$. Wir nehmen also eine einfallende ebene Welle 
$$\bm{E}_e = \bm{E}_{e,0}\,\sin(\omega_e\,t-\bm{k}_e\cdot \bm{r}),$$
sowie eine reflektierte ebene Welle
$$\bm{E}_r = \bm{E}_{r,0}\,\sin(\omega_r\,t-\bm{k}_r\cdot \bm{r})$$
und eine durchgehende ebene Welle 
$$\bm{E}_g = \bm{E}_{g,0}\,\sin(\omega_g\,t-\bm{k}_g\cdot \bm{r})$$
an. Die Stetigkeitsbedingung lautet dann
$$\bm{E}_{e,\parallel} + \bm{E}_{r,\parallel} = \bm{E}_{g,\parallel}.$$
Wir w\"ahlen ohne Einschr\"ankung der Allgemeinheit $\bm{r}=(0,0,0)^T$, so
dass die Bedingung nur f\"ur alle Zeiten erf\"ullt sein kann, wenn
$$\omega_e=\omega_r=\omega_g\equiv \omega,$$
gilt, also die Frequenzen in den Medien gleich der Frequenz der einlaufenden Welle ist.
Weiterhin ist f\"ur die Grenzfl\"ache $\bm{r}_E$ die Bedingung nur 
f\"ur alle Zeiten zu erf\"ullen, wenn
$$\bm{k}_e\cdot \bm{r}_E = \bm{k}_r\cdot \bm{r}_E = \bm{k}_{g}\cdot \bm{r}_E$$
gilt. Mit der anfangs gew\"ahlten Bedingung, dass $k_{e,z}=0$ ist, ergibt sich
$$k_{e,x}\,x = k_{r,x}\,x + k_{r,z}\,z = k_{g,x}\,x + k_{g,z}\,z.$$
Um die Gleichheit f\"ur alle Werte von $x,z$ zu erhalten, m\"ussen
$$k_{e,x}=k_{r,x}=k_{g,x}\,\,k_{r,z}=k_{g,z}=0$$
gelten:
\textbf{Alle drei Wellenvektoren liegen in einer Ebene!}
Weiterhin k\"onnen wir explizit noch aufschreiben:
\begin{eqnarray*}
	k_{e,x} &=& k_e\,\sin\alpha = \frac{n_1\,\omega}{c}\,\sin\alpha \\
	k_{r,x} &=& k_r\,\sin\alpha^\prime = \frac{n_1\,\omega}{c}\,\sin\alpha^\prime\\
	k_{g,x} &=& k_g\,\sin\beta        = \frac{n_2\,\omega}{c}\,\sin\beta.
\end{eqnarray*} 
Aus den ersten beiden Gleichungen ergibt sich:
$$\sin\alpha=\sin\alpha^\prime \leftrightarrow \alpha=\alpha^\prime.$$
Zusammen mit der letzten Gleichung haben wir das \textbf{Snell'sche Gesetz} abgeleitet:
\index{Snell'sches Gesetz}
\begin{wichtig}[Snell'sches Gesetz]
$$n_1\,\sin\alpha = n_2\sin\beta.$$
\end{wichtig}

Das Snell'sche Gesetz basiert auf der Stetigkeitsbedingung an der Grenzschicht und 
besagt, dass im dichteren Medium die ebene Welle zur Fl\"achennormalen gebrochen wird.

Experimentell ist in der Abbildung~\ref{fig:snell_pic} der \"Ubergang von Luft in ein dichteres Medium dargestellt.

\begin{figure}
	
	\parbox{0.5\linewidth}{
	\includegraphics[width=\linewidth]{pictures/snell_law.png}}
\hfill
	\parbox{0.4\linewidth}{
	\caption{Das einfallende Licht wird (von unten nach oben in der Abbildung) am Übergang von Luft ($n_1\approx 1$) zu Plexiglas ($n_2>1$) zum
		Lot gebrochen. Die Strahlen fallen bei $\alpha_1=15^\circ$ und $\alpha_2=45^\circ$ zum Lot in Luft ein. 
		Dargestellt ist schematisch die Konstruktion mit zwei Kreisen (das Verh\"altnis 
		der Radien ist gegeben durch das Verh\"altnis der Brechungsindizes). Zu sehen sind auch die 
	reflektierten Strahlen. Überlegen Sie sich, warum wir das Snell'sche Gesetz lediglich auf die Brechung
an der ersten Grenzfl\"ache von Luft zu Plastik anzuwenden brauchen \textit{Hinweis: Schauen Sie sich die Form der oberen Grenzfläche an}.\label{fig:snell_pic}}}
	
\end{figure}
\subsection{Fresnel-Formeln}
Wir haben bislang nicht weiter darüber nachgedacht, wie die Polarisation der einfallenden, gebrochenen und reflektierten Welle zusammenhängen. Die Ableitung der 
hierzu relevanten \index{Fresnel-Formeln} \textbf{Fresnel-Formeln} lassen wir hier aus und verweisen auf vorhandene Textbücher etc. Die Vorgehensweise für die Herleitung ähnelt der im vorigen Abschnitt
beschriebenen Methode. Hier geben wir nur eine heuristische Betrachtung der vier relevanten Gleichungen für Reflektivität und Transmissivität der Feldkomponenten sowie einige Beispiele und Spezialfälle an. \\
Anmerkung: Die Gleichungen sind für den Fall vernachlässigbarer Absorption anwendbar. 

 Wir definieren die \textbf{Reflektivität} $\rho$ für die \textit{parallele} Polarisation ($p$-Polarisation) und für die \textit{senkrechte} Polarisation ($s$-Polarisation). Die $p$-Polarisation bezieht sich auf die Ausrichtung des Feldvektors in der $x$,$y$-Ebene (siehe Abb.~\ref{fig:snell} für die Wahl des Koordinatensystems), die $s$-Polarisation bezieht sich auf die $z$-Komponente des Feldvektors. Entsprechend ist
$\bm{E}_p = E_{e0,x}\bm{e}_x + E_{e0,y}\bm{e}_y$ und $\bm{E}_s = E_{e0,z}\bm{e}_z$. Die Reflektivitäten sind entsprechend definiert als das Verhältnis der reflektierten Feldkomponenten
$$ \rho_p = \frac{E_{r0,p}}{E_{e0,p}},\,\,\quad \rho_s = \frac{E_{r0,z}}{E_{e0,z}},$$
wobei $E_{e0,p} = (E_{e0,x}^2 + E_{e0,y}^2)^{1/2}$ und $E_{r0,p}=(E_{r0,x}^2+E_{r0,y}^2)^{1/2}$. 

Wir können jetzt die Fresnel-Gleichungen für die Reflektivitäten angeben:

$$ \rho_p = \frac{\tan (\alpha-\beta)}{\tan(\alpha+\beta)},$$
$$\rho_s  = -\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha+\beta)}.$$

\textbf{Beispiel 1:} Reflexion an einer Wasseroberfläche, Kronglas\\
Für Wasser ist $n_2\approx 4/3$, für Kronglas ist $n_2\approx 3/2$. Weiterhin gilt für kleine Winkel $\sin\alpha\approx \alpha$ und $\sin\beta\approx \beta$, so dass für $n_1=1$ aus dem Snell'schen Gesetz
folgert $\beta = \alpha/n_2$ und damit
$$ \rho_s = -\frac{\sin\left(\alpha-\frac{\alpha}{n_2}\right)}
			      {\sin\left(\alpha+\frac{\alpha}{n_2}\right)}\approx 
			-\frac{n_2-1}{n_2+1}.$$
Entsprechend ist für Wasser $\rho_s\approx -1/7$ und für Kronglas $\rho_s\approx -1/5$. Damit ist die relative Intensität des reflektierten Lichtes für die senkrechte Polarisation
($\rho_s^2$) für Wasser $\rho_s^2=1/49\approx 2~\%$, für Kronglas $\rho_s^2=1/25=4~\%$. 

\textbf{Beispiel 2:} Totalreflexion in Wasser\\
Für den Fall, dass der Brechungswinkel $\beta=\pi/2$ wird, wird Reflektivität $\rho_s^2=\rho_p^2=1$. Diese Bedingung lässt sich nur erreichen, wenn wir einen Übergang von einem 
Medium $n_1>n_2$ betrachten. Die Bedingung an den minimalen Winkel $\alpha_g$, für den $\beta(\alpha_g)=\pi/2$ gilt, ergibt sich aus der Snell'schen Gleichung
$$n_1 \sin\alpha_g = n_2,$$
für den Übergang von Wasser ($n_1=4/3)$) zu Luft ($n_2=1$) erhalten wir
$$\sin\alpha_g = \frac{n_2}{n_1}\approx \frac{3}{4},$$
so dass für Wasser $\alpha_g\approx 49^\circ$ (für Kronglas ist $\alpha_g\approx 42^\circ$). 

Allgemeine Bedingung für \index{Totalreflexion} Totalreflexion für den Übergang von einem Medium mit $n_1$ in ein Medium mit $n_2<n_1$ ist gegeben durch

$$\sin \alpha_g = \frac{n_2}{n_1}.$$

Anwendungen für Totalreflexion: Lichtwellenleiter, Umlenkprisma - siehe auch Abb.~\ref{fig:anwendungen_totalreflex}.

Der Vollständigkeit halber präsentieren wir hier auch die Gleichungen für die Transmissivitäten, d.h. den relativen Anteil der einfallenden Intensität, der jenseits der
Grenzfläche gemessen wird (siehe auch Abbildung~\ref{fig:reftrans} für den Verlauf der Reflektivität und Transmissivität für den Übergang von Wasser zu Luft):

$$\tau_p = \frac{\sin(2\alpha)~\sin(2\beta)}{\sin^2(\alpha+\beta)},$$
$$\tau_s = \frac{\sin(2\alpha)~\sin(2\beta)}{\sin^2(\alpha+\beta)\,\cos^2(\alpha-\beta)}.$$


\textit{Zum Nachdenken: Wenn ein Lichtstrahl an einer Grenzschicht reflektiert wird, kann es zu einem
	Phasensprung kommen, d.h. das Vorzeichen der reflektierten Amplitude unterscheidet sich von dem der einfallenden Welle. \"Uberlegen Sie sich, bei welcher Bedingung ($n_2>n_1$ oder $n_2<n_1$) der
	Phasensprung auftritt.}

\begin{figure}
	\parbox{0.49\linewidth}{
	\includegraphics[width=\linewidth]{pictures/wellenleiter.png}}
   \parbox{0.49\linewidth}{
   	\includegraphics[width=\linewidth]{pictures/umlenkprisma.png}}    
\caption{Linkes Bild: Funktionsweise eines Lichtwellenleiters),
rechtes Bild: Umlenkprisma}
\label{fig:anwendungen_totalreflex}
\end{figure} 

\begin{figure}
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{figures/plot_reftrans.png}
	\caption{Reflektivität und Transmissivität als Funktion des Einfallswinkels für den Übergang von Wasser zu Luft.
		Deutlich zu erkennen sind der Grenzwinkel $\alpha_g$ für Totalreflexion und der Brewster-Winkel $\alpha_B$, für den die Reflexion der $p$-Polarisation auf 0 abfällt.\label{fig:reftrans}}
\end{figure}
\subsection{Polarisation und Reflexion: Brewster-Winkel}
Im vorigen Abschnitt haben wir die Fresnel-Gleichungen kennengelernt, mit denen wir die Reflektivität an der Übergangsfläche zwischen zwei Dielektrika bestimmen können. 
Ein Spezialfall tritt dann auf, wenn für den Winkel zwischen reflektiertem und durchgehendem Strahl gilt: $\alpha+\beta=\pi/2$. In diesem Fall gilt für $\rho_p=\tan(\alpha-\beta)/\tan(\alpha+\beta)=0$, weil der Nenner divergiert: \textbf{die parallel polarisierte Komponente wird \textit{nicht} reflektiert}. 
Der entsprechende Winkel wird auch \textit{Brewster}-Winkel \index{Brewster-Winkel} genannt. Wir können den entsprechenden Winkel $\alpha_B$ anhand des Snell'schen
Gesetzes bestimmen, es muss gelten $n_1\sin\alpha_B=n_2\sin(\pi/2-\alpha_B)=n_2\cos\alpha_B$, so dass gilt:
$$ \tan\alpha_B = \frac{n_2}{n_1}.$$

Beispiel:\\
Für Wasser$\rightarrow$ Luft ist $\alpha_B\approx37^\circ$ (siehe auch Abbildung:~\ref{fig:reftrans}), für Kronglas$\rightarrow$Luft ist $\alpha_B\approx 56^\circ$. Für den Übergang Luft$\rightarrow$Wasser
ist $\alpha_B\approx 53^\circ$. 

Zur Erklärung des Phänomens: \\
Wir schauen uns in Abbildung~\ref{fig:drawing_brewster} den Verlauf der eingehenden, transmittierten und reflektierten Strahlen an. Die Pfeile deuten die Orientierung des
parallelen Polarisationsvektors an und die Kreise stellen den senkrechten Polarisationsanteil dar. Für den Fall, dass der ausgehende und der transmittierte Strahl senkrecht zueinander stehen
($\alpha_B+\beta=\pi/2$), wird der reflektierte Strahl senkrecht polarisiert sein - die parallele Komponente wird nicht reflektiert, weil die Orientierung der Dipole an der Grenzschicht parallel zu
der Strahlrichtung verlaufen, d.h. in dieser Richtung ist $\sin^2 0=0$.
\todo{emaneszente Mode}
\begin{figure}
		\parbox{0.5\linewidth}{
	\includegraphics[width=0.9\linewidth]{Graphiken/drawing_brewster.png}}
		\parbox{0.5\linewidth}{
	\includegraphics[width=0.9\linewidth]{Graphiken/drawing_rayleigh.png}}
	\caption{Linkes Bild: Für den gezeigten Einfallswinkel $\alpha_B$ gilt $\alpha_B+\beta=\pi/2$. An der Grenzfläche werden die Atome/Moleküle durch das elektrische Feld polarisiert, so dass in der Feldrichtung
		ein zeitlich variierender Dipol Strahlung aussendet, die mit $\sin^2\theta$ rotationssymetrisch  um die Dipolachse abgegeben wird. \textit{Entlang} der Dipolachse (entspricht der parallelen
		Polarisation) wird jedoch kein Licht abgegeben, so dass das reflektierte Licht senkrecht polarisiert ist.\label{fig:drawing_brewster} Die
	grau schattierte Form deutet die Emissionscharakteristik für einen Hertz'schen Dipol an ($\propto \sin^2\theta$).
Rechtes Bild: Das gestreute Sonnenlicht (Rayleigh-Streuung betrifft hauptsächlich das kurzwellige Licht) ist ebenfalls polarisiert, wenn die Sichtlinie senkrecht zu der Verbindungslinie zwischen dem Streuzentrum und der Sonne steht. }
\end{figure}
   
\textbf{Anwendungen}:\\
Polarisationsfilter für Angler, Autofahrer oder Photographen, um ungewünschte Reflexe zu unterdrücken (siehe Abb.~\ref{pic:brewster} links). 
Zum \"Uberlegen: Der in der Abbildung~\ref{pic:brewster} (links) gezeigte Polarisationsfilter schwächt das von der Glasoberfläche reflektierte Licht ab - welche Polarisationsrichtung ist die Durchlassrichtung des Filters? 

Verwandtes Phänomen: \textbf{Polarisiertes Himmelsblau}\\
Sonnenlicht wird an den Molekülen in der Atmosphäre gestreut, wobei die Moleküle polarisiert werden und Dipolstrahlung abgeben. Für einen Beobachter unter einem Winkel von $\pi/2$ zur
Verbindungsline zur Sonne ist dementsprechend nur die senkrechte Polarisationsrichtung sichtbar (siebe Abb.~\ref{pic:brewster} rechts).


\begin{figure}
	\parbox{0.5\linewidth}{
	\includegraphics[width=0.9\linewidth]{pictures/brewster_reflex.png}}
	\parbox{0.5\linewidth}{
	\includegraphics[width=0.9\linewidth]{pictures/sky_polarized_arrow.png}}
    \caption{Linkes Bild: Das reflektierte Licht wird durch den Polarisationsfilter unterdrückt, so dass die darunterliegende Tafel besser sichtbar ist.
    	Rechtes Bild: Das Himmelsblau ist gestreutes Sonnenlicht. Bei einem Blickwinkel von $90^\circ$ zur Sonnenrichtung ist das aus der Richtung eintreffende 
    	gestreute Licht am stärksten polarisiert. Die beiden Polarisationsfilter
    	lassen jeweils eine der linearen Polarisationsrichtungen hindurch (markiert mit den Pfeilen).}
    	\label{pic:brewster}
\end{figure}



\subsection{Optisch anisotrope Medien: Doppelbrechung}
 Im allgemeinen ist der Brechungsindex in einem Dielektrikum nicht isotrop
 (z.B. Kalzit-Kristall oder auch Polymere). Für ein anisotropes Medium ersetzen
 wir den Brechungsindex durch eine Matrix, ähnlich zu der Betrachtung eines
 Trägheitstensors für einen starren Körper (siehe Physik E1). Durch
 Diagonalisierung der Matrix können wir  ein körperfestes Koordinatensystem
 finden, bei dem wir drei unterschiedliche Brechungsindizes ($n_1$, $n_2$, $n_3$) entlang der
 Hauptachsen ausmachen können. Wir betrachten im Folgenden den Spezialfall, dass $n_2=n_3$ (uniaxialer Kristall) und 
dass $n_1>n_2=n_3$ (positiver Kristall gilt). Der Ellipsoid mit diesen Halbachsen wird auch \index{Fresnel-Ellipsoid} {Fresnel-Ellipsoid} genannt. Ein Beispiel 
für einen uniaxialen und positiven Fresnel-Ellipsoiden ist in Abb.~\ref{fig:doppelbrechung} dargestellt.

Anhand dieser Konstruktion lässt sich analysieren, was mit einer ebenen Welle passiert, die auf einen solchen Kristall trifft. In Abb.~\ref{fig:doppelbrechung} ist
die Ausbreitungsrichtung als schwarzer Pfeil angedeutet. Senkrecht zu der Ausbreitungsrichtung oszilliert das elektrische Feld für die beiden möglichen linearen
Polarisationsrichtungen. Wir wählen in der senkrecht zur Ausbreitungsrichtung liegenden Ebene (grün) zum einen die Richtung in der der Brechungsindex $n_O:=n_2=n_3$ 
ist und senkrecht hierzu haben wir einen davon unterschiedlichen Brechungsindex $n_a>n_O$. Für einen unpolarisierten Strahl ergeben sich also zwei mögliche senkrecht zueinander stehende Polarisationsrichtungen, die unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten in dem Medium haben. 

Fällt eine ebene Welle senkrecht auf eine Grenzschicht zu einem positiven, uniaxialen Kristall, spaltet sich der Strahl in einen \textit{gewöhnlichen} und einen außergewöhnlichen Strahl auf, deren Polarisationsrichtungen den Richtungen von $n_O$ und $n_a$ entsprechen. Der gewöhnliche Strahl folgt dem Snell'schen Brechungsgesetz und ist senkrecht polarisiert zu der Polarisationsrichtung des außergewöhnlichen Strahls, der nicht dem Snell'schen Gesetz folgt, sondern auch bei senkrechtem Auftreffen in einem Winkel zum gewöhnlichen Strahl propagiert. \textit{Zum Nachdenken: Konstruieren Sie den Verlauf der Elementarwellen des außergewöhnlichen Strahls - berücksichtigen Sie
	hierbei die unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeit.}

Das Phänomen der Doppelbrechung kann dazu genutzt werden, um Licht zu polarisieren. Hierzu wird ein sogenanntes \textit{Nicol}-Prisma \index{Nicol-Prisma} 
verwendet, bei dem zwei Kalkspat-Prismen so zueinander angeordnet werden, dass der außergewöhnliche Strahl an der Grenzschicht total reflektiert wird, wohingegen der 
gewöhnliche Strahl hindurchgelangen kann.
 \begin{figure}
	 \parbox{0.7\linewidth}{
		 \includegraphics[width=1.3\linewidth]{Graphiken/ellipsoid_export.png}}
	 \parbox{0.3\linewidth}{
		 \caption{ \label{fig:doppelbrechung}
		 	In einem uniaxialen Medium mit $n_1>n_2=n_3$ (positiver Kristall)
		 breitet sich eine ebene Welle in Richtung des Pfeils aus.
		 Das elektrische Feld der Welle kann in der senkrechten Richtung zur Ausbreitungsrichtung zum einen entlang der Richtung $\overline{FD}$ mit dem Brechungsindex $n_o=n_2=n_3$ (gewöhnlicher Strahl) und entlang der Richtung $\overline{FE}$ mit dem Brechungsindex $n_a$ (außergewöhnlicher Strahl) oszillieren. Es kommt zum Phänomen der \textit{Doppelbrechung}. }}
 \end{figure}