From 28bcea9a2ae60eba032e567bd7477b744b5bb23a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Dieter Horns <dieter.horns@uni-hamburg.de>
Date: Tue, 6 May 2025 12:45:49 +0200
Subject: [PATCH] Edited some of the sections, more links
I disentangled Sections 8.3 and 8.4,
made the enumeration (i), (ii), (iii) in 8.5 to be consistent
with the lecture
In 8.6 added a link to GeoGebra for the circular polarization
---
v0.1/em_waves.tex | 102 ++++++++++++++++++++++++++++++----------------
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+++ b/v0.1/em_waves.tex
@@ -56,7 +56,7 @@ der Felder einer propagierenden elektromagnetischen Welle):
Zusammen mit der Lorenzkraft $\bm{F}=q(\bm{v}\times\bm{B}+\bm{E})$, dem Ohm'schen
Gesetz $\partial\rho/\partial t=-\nabla\cdot \bm{j}$ und der Beziehungen $\bm{B}=\mu_r\mu_0\bm{H}$ sowie $\bm{D}=\epsilon_0\epsilon_r\bm{E}$
k\"onnen wir alle wesentlichen elektromagnetischen Ph\"anomene beschreiben.
-\section{Wellengleichung f\"ur elektromagnetische Felder in Vakuum}
+\section{Wellengleichung f\"ur elektromagnetische Felder}
\marginpar{\qrcode[hyperlink,height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69377/2877/3714}}
Betrachte Wellenausbreitung in einem dielektrischen Medium mit $\epsilon_r>1$, aber
\textit{ohne freie Ladungen und Str\"ome}:
@@ -76,41 +76,70 @@ entsprechend in Gl.~\ref{eqn:rotH} und nutzen $\nabla\cdot\bm{E}=0$:
\Laplace\bm{E} = \mu_r\,\mu_0\,\epsilon_r\,\epsilon_0 \frac{\partial^2\bm{E}}{\partial t^2}.
\end{equation}
Diese Gleichung hat die Struktur der bekannten Wellengleichung $\partial_{xx}u:=v^{-2}\partial_{tt}u$ und wir können direkt Lösungen diskutieren!
+
+Darüber hinaus können wir sofort die Ausbreitungsgeschwindigkeit in einem Medium ablesen:
+\begin{equation}
+ v^2 = \frac{1}{\mu_r \mu_0 \epsilon_r \epsilon_0}
+\end{equation}
+und die Lichtgeschwindigkeit $c$ in Vakuum ($\mu_r=1$, $\epsilon_r=1$) bestimmen
+\begin{equation}
+ c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}.
+\end{equation}
+Das Verhältnis von $c/v$ wird auch als Brechungsindex
+
+\begin{equation}
+ n= \frac{c}{v} = \sqrt{\epsilon_r~\mu_r}\approx \sqrt{\epsilon_r}
+\end{equation}
+bezeichnet. Die Näherung $n=\sqrt{\epsilon_r}$ gilt insbesondere für Dielektrika, die in der Regel
+diamagnetisch sind.
+
+Eine analoge Betrachtung l\"asst sich mit dem Magnetfeld anstellen, f\"ur das die Wellengleichung gilt:
+$$\Laplace\bm{H}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\bm{H}}{\partial t^2}.$$
%%%%
-\section{Ebene Welle}
+\section{Ebene harmonische Welle}
\marginpar{\qrcode[hyperlink,height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69377/3840/4118}}
Eine L\"osung der Wellengleichung ist
\begin{equation}\label{eqn:ebenewelle}
\bm{E}(\bm{r},t)=\bm{E}_0\,\sin(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega\,t),
\end{equation}
-mit $\bm{k}=2\pi\,\bm{e}_k/\lambda$ ($\bm{e}_k$ ist der Einheitsvektor in der Ausbreitungsrichtung der Welle) und $v=\omega/|\bm{k}|=\omega\,\lambda/(2\pi)=\nu\,\lambda$.
-Aus dem Vergleich von
-$$\Laplace\,\bm{E}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\bm{E}}{\partial t^2}$$
-mit Gl.~\ref{eqn:waveE} folgt f\"ur die Ausbreitungsgeschwindigkeit
-(Phasengeschwindigkeit):
-$$v=\frac{1}{\sqrt{\mu_r\mu_0\epsilon_r\epsilon_0}}\equiv \frac{c}{n},$$
-mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit
-$$c:=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}$$
-und dem Brechungsindex
-$$n:= \sqrt{\epsilon_r\mu_r}\approx\sqrt{\epsilon_r},$$
-weil in der Regel $\mu_r\approx 1$ gilt. Für den Brechungsindex $n$ gilt normalerweise $n>1$, so dass Licht sich in einem Dielektrikum langsamer bewegt als im
-Vakuum (im Allgemeinen ist $n=n(\omega)$ und kann komplexwertig sein, das führt zu Absorption,
-siehe auch Abschnitt~\ref{section:dispersion}). \\
-Eine analoge Betrachtung l\"asst sich mit dem Magnetfeld anstellen, f\"ur das die Wellengleichung gilt:
-$$\Laplace\bm{H}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\bm{H}}{\partial t^2}.$$
+mit $\bm{k}=2\pi\,\bm{e}_k/\lambda$ ($\bm{e}_k$ ist der Einheitsvektor in der Ausbreitungsrichtung der Welle) und
+die Phasengeschwindigkeit $v=\omega/|\bm{k}|=\omega\,\lambda/(2\pi).$
+Daraus folgt die für eine elektromagnetische Welle mit der Frequenz $\nu$ und Wellenlänge $\lambda$:
+\begin{equation}
+ v=\frac{c}{n} = \nu\,\lambda.
+\end{equation}
+
+Zum Nacharbeiten:
+\begin{itemize}
+ \item Überprüfen Sie, dass die Gleichung \ref{eqn:ebenewelle} die Wellengleichung
+\ref{eqn:waveE} löst.
+ \item Überlegen Sie sich weitere Lösungen der Wellengleichung.
+\end{itemize}
+%Aus dem Vergleich von
+%$$\Laplace\,\bm{E}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\bm{E}}{\partial t^2}$$
+%mit Gl.~\ref{eqn:waveE} folgt f\"ur die Ausbreitungsgeschwindigkeit
+%(Phasengeschwindigkeit):
+%$$v=\frac{1}{\sqrt{\mu_r\mu_0\epsilon_r\epsilon_0}}\equiv \frac{c}{n},$$
+%mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit
+%$$c:=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}$$
+%und dem Brechungsindex
+%$$n:= \sqrt{\epsilon_r\mu_r}\approx\sqrt{\epsilon_r},$$
+%weil in der Regel $\mu_r\approx 1$ gilt. Für den Brechungsindex $n$ gilt normalerweise $n>1$, so dass Licht sich in einem Dielektrikum langsamer bewegt als im
+%Vakuum (im Allgemeinen ist $n=n(\omega)$ und kann komplexwertig sein, das führt zu Absorption,
+%siehe auch Abschnitt~\ref{section:dispersion}). \\
\section{Ausbreitung einer ebenen Welle}
\marginpar{\qrcode[hyperlink,height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69377/4118/4810}}
Eigenschaften der L\"osung f\"ur eine ebene Welle:
-\begin{itemize}
+\begin{enumerate}[i)]
\item $\bm{E}$ und $\bm{H}$ sind senkrecht zu $\bm{k}$:
Mit $\nabla\cdot\bm{E}=0$ folgt nach Einsetzen der L\"osung aus Gleichung~\ref{eqn:ebenewelle}:
$$\nabla(\bm{E}_0\sin(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega\,t))=
- \bm{k}\cdot\bm{E}_0\cos(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega\,t)=\bm{k}\cdot\bm{E}=0.$$
+ \bm{k}\cdot\bm{E}_0\cos(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega\,t) \rightarrow \bm{k}\cdot\bm{E}_0=0.$$
Die Gleichheit (f\"ur alle $\bm{r}$ und jedes beliebige $t$) ist
- nur dann erf\"ullt, wenn $\bm{k}\cdot\bm{E}=0$ gilt, also die beiden
+ nur dann erf\"ullt, wenn $\bm{k}\cdot\bm{E}_0=0$ gilt, also die beiden
Vektoren senkrecht zueinander stehen. Analog l\"asst sich die
- gleiche Eigenschaft f\"ur $\bm{H}\cdot\bm{k}=0$ zeigen.
+ gleiche Eigenschaft f\"ur $\bm{H}_0\cdot\bm{k}=0$ zeigen.
\item $\bm{E}$ und $\bm{B}$ sind senkrecht zueinander und in Phase:
Mit $\nabla\times\bm{E}=-\partial\bm{B}/\partial t$ und der Gl.~\ref{eqn:ebenewelle} f\"ur $\bm{E}(\bm{r},t)$ ergibt sich
$$\nabla\times\bm{E}=\bm{k}\times\bm{E}_0\cos(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega\,t).$$
@@ -125,7 +154,7 @@ Eigenschaften der L\"osung f\"ur eine ebene Welle:
mit Brechungsindex $n$ gilt entsprechend der Faktor $n/c$.
\item Konvention: Die Richtung des $\bm{E}$-Feldvektors wird als
die Polarisationsrichtung der elektromagnetischen Welle interpretiert.
-\end{itemize}
+\end{enumerate}
\colorlet{crystal}{blue!75}
\def\zangle{-10}
\def\xangle{20}
@@ -198,6 +227,8 @@ in {20,...,152}{
\section{Polarisation}
\marginpar{\qrcode[hyperlink,height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69377/4810/5283}}
\marginpar{\qrcode[hyperlink,height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69417/0525/1191}}
+\marginpar{Geogebra\qrcode[hyperlink,height=1.5cm]{https://www.geogebra.org/m/ucd6xpfa}}
+
Eine ebene Welle
$$ \bm{E}=\bm{E}_0\,e^{i(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega\,t)},$$
mit Wellenvektor $\bm{k}=k\bm{e}_{z}$ ist
@@ -217,15 +248,18 @@ Anmerkungen:
\item Wenn eine unpolarisierte Welle einen Polarisator durchquert, wird eine Polarisationsebene bevorzugt hindurchgelassen.
Wir werden sp\"ater M\"oglichkeiten kennenlernen, durch Doppelbrechung zirkul\"ar polarisiertes Licht zu erzeugen.
- \item F\"ur den Fall zirkul\"aren (analog für die elliptische) Polarisation unterscheiden wir \textit{links} zirkul\"ar polarisiert (der elektrische Feldvektor durchl\"auft eine Rotation, die f\"ur einen Beobachter, der die Welle auf sich zukommen sieht, nach links verl\"auft, siehe Abbildung~\ref{fig:ebeneWelle}). Eine
- \textit{rechts} zirkul\"are Polarisation ist entsprechend nach rechts drehend. Wir ordnen der Orientierung des Drehung des Feldvektors eine
- \textit{Händigkeit} zu. Die links zirkuläre Polarisation durchläuft eine rechtshändige Schraube, die rechts zirkuläre Polarisation durchläuft
- eine linkshändige Schraube.
-
- In der modernen Schreibweise unterscheiden wir die beiden m\"oglichen relativen Orientierungen des $\bm{k}$ und des axialen Vektors der
- Rotation der Polarisationsebene $\bm{\omega}$, so dass
- wir von einer $\sigma^+$-Welle reden, wenn $\bm{k}\cdot\bm{\omega}>0$ gilt (rechtshändig) und
- $\sigma^-$, wenn $\bm{k}\cdot\bm{\omega}<0$ gilt (linkshändig).
+ \item F\"ur den Fall zirkul\"aren (analog für die elliptische) Polarisation unterscheiden wir
+ \textit{links} zirkul\"ar polarisiert (der elektrische Feldvektor durchl\"auft eine Rotation, die f\"ur einen Beobachter, der die Welle auf sich zukommen sieht, nach links verl\"auft, siehe Abbildung~\ref{fig:ebeneWelle}). Eine
+ \textit{rechts} zirkul\"are Polarisation ist entsprechend nach rechts drehend. Leider gibt es hier zwei unterschiedliche Konventionen, je nach Perspektive (hier benutzen wir die Drehrichtung aus der Perspektive des Beobachters)\footnote{Für Radioastronomen
+ ist die Drehrichtung aus der Sicht der Quelle Konvention}.
+ % Wir ordnen der Orientierung des Drehung des Feldvektors eine
+ % \textit{Händigkeit} zu. Die links zirkuläre Polarisation durchläuft eine rechtshändige Schraube, die rechts zirkuläre Polarisation durchläuft
+ % eine linkshändige Schraube.
+
+ % In der modernen Schreibweise unterscheiden wir die beiden m\"oglichen relativen Orientierungen des $\bm{k}$ und des axialen Vektors der
+ % Rotation der Polarisationsebene $\bm{\omega}$, so dass
+ %wir von einer $\sigma^+$-Welle reden, wenn $\bm{k}\cdot\bm{\omega}>0$ gilt (rechtshändig) und
+ % $\sigma^-$, wenn $\bm{k}\cdot\bm{\omega}<0$ gilt (linkshändig).
\end{enumerate}
\section{Energie- und Impulstransport}
@@ -1278,7 +1312,7 @@ Mit Lichtwellen gelingt das Experiment nicht ohne erheblichen Aufwand, denn die
die Distanz von einer Wellenlänge).
-\marginpar{\qrcode[hyperlink, height=1.5m]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69539/1245/2257}}
+\marginpar{\qrcode[hyperlink, height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69539/1245/2257}}
\subsection{Fresnel-Formeln}
Wir haben bislang nicht weiter darüber nachgedacht, wie die Polarisation der einfallenden, gebrochenen und reflektierten Welle zusammenhängen. Die Ableitung der
hierzu relevanten \index{Fresnel-Formeln} \textbf{Fresnel-Formeln} lassen wir hier aus und verweisen auf vorhandene Textbücher etc. Die Vorgehensweise für die Herleitung ähnelt der im vorigen Abschnitt
@@ -1347,8 +1381,8 @@ rechtes Bild: Umlenkprisma}
Deutlich zu erkennen sind der Grenzwinkel $\alpha_g$ für Totalreflexion und der Brewster-Winkel $\alpha_B$, für den die Reflexion der $p$-Polarisation auf 0 abfällt.\label{fig:reftrans}}
\end{figure}
-\marginpar{\qrcode[hyperlink, height=1.5m]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69539/2261/2464}}
-\marginpar{Experiment: \qrcode[hyperlink, height=1.5m]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69539/2509/2850}}
+\marginpar{\qrcode[hyperlink, height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69539/2261/2464}}
+\marginpar{Experiment: \qrcode[hyperlink, height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69539/2509/2850}}
\subsection{Polarisation und Reflexion: Brewster-Winkel}
Im vorigen Abschnitt haben wir die Fresnel-Gleichungen kennengelernt, mit denen wir die Reflektivität an der Übergangsfläche zwischen zwei Dielektrika bestimmen können.
Ein Spezialfall tritt dann auf, wenn für den Winkel zwischen reflektiertem und durchgehendem Strahl gilt: $\alpha+\beta=\pi/2$. In diesem Fall gilt für $\rho_p=\tan(\alpha-\beta)/\tan(\alpha+\beta)=0$, weil der Nenner divergiert: \textbf{die parallel polarisierte Komponente wird \textit{nicht} reflektiert}.
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