From 43134a92366adc09c3898f576d19c695d7c0ad2a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Dieter Horns <dieter.horns@uni-hamburg.de> Date: Wed, 20 Mar 2024 16:48:32 +0100 Subject: [PATCH] added section on maxwell gleichungen --- v0.1/elektrostatik.tex | 8 ++-- v0.1/induktion.tex | 2 + v0.1/maxwell_gleichungen.tex | 71 +++++++++++++++++++++++++++++++++++- 3 files changed, 76 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/v0.1/elektrostatik.tex b/v0.1/elektrostatik.tex index f4ec8a9..3b5e2da 100644 --- a/v0.1/elektrostatik.tex +++ b/v0.1/elektrostatik.tex @@ -690,6 +690,7 @@ oder abstoßend ($W_\mathrm{pot}>0$) ist. \end{figure} \section{Elektrischer Fluss und Gauß'sches Gesetz} +\label{section:gauss} Mit dem Konzept der elektrischen Feldlinien erkennen wir, dass die Feldstärke gegeben ist durch die Flächendichte der Feldlinien. Die Anzahl der Feldlinien ist proportional zu der Stärke der Quelle/Senke, also @@ -976,8 +977,8 @@ zu der Feldstärke $E_\mathrm{net}$: \[ \sigma_\mathrm{pol.} = \epsilon_0 \chi E_\mathrm{net}. \] -Mit der Definition der \textit{relativen Dielektrizitätskonstanten} \index{Dielektrizitätskonstante} -\index{Permittivität} +Mit der Definition der \textit{relativen Dielektrizitätskonstanten} \i ndex{Dielektrizitätskonstante} +\index{Permittivität (relativ)} \[ \epsilon_r := 1+\chi \] gilt \begin{equation} @@ -993,7 +994,7 @@ gilt $\epsilon_0\epsilon_r$ ersetzen, um den Einfluss eines linearen und isotropen Dielektrikums zu berücksichtigen. \end{wichtig} -In einigen Lehrbüchern wird $\epsilon_r$ auch als \textit{Permittivität} bezeichnet. +In einigen Lehrbüchern wird das Produkt $\epsilon_0 \epsilon_r$ auch als \textit{Permittivität} bezeichnet. In Tabelle~\ref{table:epsilonr} sind für einige Materialien die gängigen Werte für $\epsilon_r$ aufgeführt. \begin{figure} @@ -1052,6 +1053,7 @@ aufgeführt. \end{table} \section{Die elektrische Verschiebung} +\label{section:elektrischeVerschiebung} Im Beispiel~\ref{exam:gg} haben wir gesehen, dass das Gauß'sche Gesetz zwar seine Gültigkeit für polarisierbare Dielektrika beibehält - wir müssen jedoch die freien Ladungen im Volumen um die polarisierten Ladungen korrigieren. Im Zweifelsfall ist das jedoch eine diff --git a/v0.1/induktion.tex b/v0.1/induktion.tex index fb0767c..20e5b30 100644 --- a/v0.1/induktion.tex +++ b/v0.1/induktion.tex @@ -15,6 +15,7 @@ Flusses, der zur \textit{Induktion eines nicht-konservativen elektrischen Feldes} führt. \section{Faraday'sches Induktionsgesetz} + \label{section:faraday} Das physikalische Prinzip des Faraday'schen Induktionsgesetzes ist die @@ -210,6 +211,7 @@ induziert eine Spannung $U_\mathrm{ind}$, die der Änderung entgegenwirkt, also \section{Maxwell'scher Verschiebungsstrom: Amp\`ere-Maxwell-Gleichung} + \label{section:maxwell-strom} Wir haben das Amp\`ere'sche Gesetz $\bm{\nabla}\times \bm{H} = \bm{j}$ (siehe auch Gl.~\ref{eqn:ampereH}) und die Kontinuitätsgleichung \ref{eqn:continuity} kennengelernt. diff --git a/v0.1/maxwell_gleichungen.tex b/v0.1/maxwell_gleichungen.tex index d45faf8..93d418e 100644 --- a/v0.1/maxwell_gleichungen.tex +++ b/v0.1/maxwell_gleichungen.tex @@ -1,6 +1,73 @@ -\chapter{Maxwell'sche Gleichungen} - \section{Zusammenfassung der Maxwell'schen Gleichungen} +\chapter{Maxwell'sche Gleichungen: Überblick } +\section{Maxwell'sche -Gleichungen in Vakuum} + In den vergangenen Kapiteln haben wir mehrere grundlegende Gleichungen kennengelernt.\\ + \textbf{Gauß'sches Gesetz für elektrische Felder} (siehe auch Abschnitt \ref{section:gauss}): + \begin{equation} + \nabla\cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} + \end{equation} +\textbf{Gauß'sches Gesetz für magnetische Felder} (ohne magnetische Monopole, siehe auch Abschnitt \ref{subsectionBandBflux}): + \begin{equation} + \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 + \end{equation} +\textbf{ Faraday'sches Induktionsgesetz} (siehe auch Abschnitt~\ref{section:faraday}: + \begin{equation} + \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + \end{equation} +\textbf{ Amp\`ere-Maxwell-Gleichung} (siehe auch Abschnitt~\ref{section:maxwell-strom}): + \begin{equation} + \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. + \end{equation} +Zusammen mit der Kraft auf eine bewegte Ladung +\begin{equation} + \mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times \mathbf{B}) +\end{equation} +lässt sich das Feld orts- und zeitabhängig beschreiben und damit die resultierende Kraft auf eine Ladung $q$ berechnen. \section{Maxwell-Gleichungen in Materie} + Die Maxwell'schen Gleichungen sind allgemein gültig, wobei die beitragenden Ladungsdichte $\rho$ und Stromdichte $\mathbf{j}$ in einem dielektrischen Medium (Isolator) nicht ohne weiteres angegeben werden können. + Ein äußeres elektrisches Feld wird z.B. ein neutrales Atom, das aus positiven Ladungen im Kern und negativen Ladungen in + der Atomhülle besteht, \textit{polarisieren} (siehe Abschnitt \ref{section:elektrischeVerschiebung}). Ein äußeres Magnetfeld führt zur Erzeugung von resultierenden magnetischen Momenten. Auch hier lässt sich eine makroskopische mittlere + lineare Änderung des angelegten Feldes durch die Magnetisierung des Mediums angeben. Die resultierenden Maxwell-Gleichungen für die resultierenden Netto-Felder $\mathbf{E}_\mathrm{net}$ und $\mathbf{B}_\mathrm{net}$ sind dann: + + \textbf{Gauß'sches Gesetz für elektrische Felder} (siehe auch Abschnitt \ref{section:gauss}): + \begin{equation} + \nabla\cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0 \epsilon_r} + \end{equation} +\textbf{Gauß'sches Gesetz für magnetische Felder} (ohne magnetische Monopole, siehe auch Abschnitt \ref{subsectionBandBflux}): + \begin{equation} + \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 + \end{equation} +\textbf{ Faraday'sches Induktionsgesetz} (siehe auch Abschnitt~\ref{section:faraday}: + \begin{equation} + \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + \end{equation} +\textbf{ Amp\`ere-Maxwell-Gleichung} (siehe auch Abschnitt~\ref{section:maxwell-strom}): + \begin{equation} + \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mu_r \mathbf{j} + \mu_0\mu_r \epsilon_0\epsilon_r \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. + \end{equation} + +Wenn wir das elektrische Feld $\mathbf{E}$ durch die elektrische Verschiebung $\mathbf{D} = \epsilon_r\epsilon_0 \mathbf{E}_\mathrm{net}$ und +$\mathbf{H} = \mu_r \mu_0 \mathbf{B}_\mathrm{net}$ ersetzen, erhalten wir die Maxwell-Gleichungen in einer einfacheren Form: +\begin{equation} + \nabla \cdot \mathbf{E} = \rho_\mathrm{frei} +\end{equation} +\begin{equation} + \nabla \cdot \mathbf{H} = 0 +\end{equation} + \begin{equation} + \nabla \times \mathbf{D} = -\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} + \end{equation} + \begin{equation} + \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j}_\mathrm{frei} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}. + \end{equation} + +Die freie Ladungsdichte $\rho_\mathrm{frei}$ und Stromdichte $\mathbf{j}_\mathrm{frei}$ sind hierbei die tatsächlich vorhandenen freien Ladungen und Ströme, die z.B. in einem Leiter als Plasma vorhanden sind. +Prinzipiell lassen sich mit diesen Gleichungen die Größen $\mathbf{D}$ und $\mathbf{H}$ bestimmen und im linearen Fall die resultierenden netto-Felder über die Zusammenhänge (s.o.) berechnen. + + + + + + \section{Skalares Potenzial und Vektorpotenzial} \section{Eichbedingungen} \section{Lorentz-Invariante Feldgleichungen} -- GitLab