diff --git a/v0.1/em_waves.tex b/v0.1/em_waves.tex index a963813da59a59c05db98890db4624540fe96662..de0e9bef620191d34748539daf50576f8d1901d2 100644 --- a/v0.1/em_waves.tex +++ b/v0.1/em_waves.tex @@ -216,6 +216,7 @@ Anmerkungen: Die Energiedichte des elektrischen und magnetischen Feldes kennen wir bereits f\"ur den statischen Fall: \[ w= \frac{1}{2}\epsilon_r\,\epsilon_0\,\bm{E}^2 + \frac{1}{2}\mu_r\,\mu_0\,\bm{H}^2 = \frac{1}{2}\epsilon_r\,\epsilon_0\,\bm{E}^2 + \frac{1}{2}\frac{\bm{B}^2}{\mu_r\,\mu_0}.\] + F\"ur eine elektromagnetische Welle ist $|\bm{B}|=n|\bm{E}|/c=\sqrt{\epsilon_r\,\mu_r\,\epsilon_0\,\mu_0}|\bm{E}|$, also l\"asst sich die Energiedichte in Abh\"angigkeit der elektrischen Feldst\"arke schreiben als $$w=\frac{1}{2}\epsilon_r\,\epsilon_0\,\bm{E}^2 + \frac{1}{2}\frac{n^2\bm{E}^2}{c^2\mu_r\mu_0} =\epsilon_r\,\epsilon_0\,\bm{E}^2.$$ @@ -225,14 +226,15 @@ der Energie pro Zeitintervall $dt$ und Fl\"achenelement $dA$ $$\frac{dU}{dA\,dt}=\frac{dU}{dA\,dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dU}{dV}\dot{x}=w\,v,$$ mit $v=\dot{x}$. Die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung im Dielektrikum mit Brechungsindex $n$ ist $v=c/n$, so dass wir f\"ur die Leistung/Fl\"ache erhalten: -$$\frac{dU}{dA\,dt}=w\,\frac{c}{n}=\epsilon_r\,\epsilon_0\,|\bm{E}|\,\frac{|\bm{B}|\,c}{n}\,\frac{c}{n}=\frac{|\bm{E}|\,|\bm{H}|}{\mu_r\,\epsilon_r}.$$ +$$\frac{dU}{dA\,dt}=w\,\frac{c}{n}=\epsilon_r\,\epsilon_0\,|\bm{E}|\,\frac{|\bm{B}|\,c}{n}\,\frac{c}{n}=\frac{|\bm{E}|\,|\bm{H}|}{\mu_r}.$$ Wir k\"onnen eine neue abgeleitete Gr\"oße einf\"uhren, den \textit{Poynting}-Vektor, der parallel zu $\bm{k}$ definiert ist: \begin{wichtig}[Poynting-Vektor] -$$\bm{S}:= \frac{1}{\mu_r\,\epsilon_r}\bm{E}\times\bm{H}.$$ +$$\bm{S}:= \frac{1}{\mu_r}\bm{E}\times\bm{H}.$$ \end{wichtig} -Der Richtung des Poynting-Vektors entspricht der Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen Welle, der Betrag des Poynting-Vektors ist die Leistung, die pro Fl\"acheneinheit (Fl\"achennormale parallel zur Richtung des Poynting-Vektors) transportiert wird.\\ +Die Richtung des Poynting-Vektors entspricht der Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen Welle, der Betrag des Poynting-Vektors ist die Leistung, +die pro Fl\"acheneinheit (Fl\"achennormale parallel zur Richtung des Poynting-Vektors) transportiert wird.\\ Der so definierte Poynting-Vektor ist im allgemeinen zeit- und ortsabh\"angig. Wir k\"onnen f\"ur den Spezialfall einer harmonischen Welle einen zeitlichen Mittelwert angeben: -$$\langle S\rangle_t=\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}dt\,w\frac{c}{n}=\frac{1}{2}|\bm{S}|=\frac{1}{2}\epsilon_r\,\epsilon_0\,\frac{c}{n}\,|\bm{E}_0|^2.$$ +$$\langle S\rangle_t=\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}dt\,w\frac{c}{n}=\frac{1}{2}|\bm{S}_0|=\frac{1}{2}\epsilon_r\,\epsilon_0\,\frac{c}{n}\,|\bm{E}_0|^2.$$ Anwendungen: \begin{itemize} \item Kugelwelle: $\bm{E}(\bm{r},t)=\bm{E}(r,t)$ (folgt aus $\bm{k}=k\bm{e}_r$) und