From ac7e1f9ebb30b3479aab6ffe2397c6af43c8c7a1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Dieter Horns <dieter.horns@uni-hamburg.de> Date: Tue, 13 May 2025 17:23:00 +0200 Subject: [PATCH] Finished adding links TBD: adding a geogebra skript for birefringence --- v0.1/em_waves.tex | 29 +++++++++++++++++++++++------ 1 file changed, 23 insertions(+), 6 deletions(-) diff --git a/v0.1/em_waves.tex b/v0.1/em_waves.tex index 79ad2f9..79cfc46 100644 --- a/v0.1/em_waves.tex +++ b/v0.1/em_waves.tex @@ -735,16 +735,17 @@ des Leiters \"ubertragen wird. \marginpar{\qrcode[hyperlink,height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69487/1703/1865}} \subsection{Koaxialkabel} - Die Lecherleitung und die in Deutschland noch immer weitverbreitete verdrillte \textit{twisted pair} Kabel mit verdrillten Kupferdr\"ahten sind einfache und robuste + Die Lecherleitung und die in Deutschland noch immer weitverbreiteten \textit{twisted pair}-Kabel mit verdrillten Kupferdr\"ahten sind einfache und robuste Wellenleiter mit D\"ampfungswerten bei einer Frequenz von 600~Mhz von -50 dB/100~m. Bessere D\"ampfungswerte lassen sich mit hochwertigen Koaxialkabeln auch zu h\"oheren Frequenzen erzielen. \\ Die Geometrie eines einfachen Koaxialkabels besteht aus einem inneren Leiter mit Radius $r_i$ und einer konzentrischen \"außeren H\"ulle (z.B. eine d\"unne Folie oder auch ein - Drahtgeflecht) mit Außenradius $r_a$ (siehe Abbildung~\ref{fig:hs} f\"ur ein Bild mit verschiedenen Koaxialkabeln). Im Zwischenraum befindet sich ein Dielektrikum ($\epsilon_r$). Auch hier lassen sich wieder die spezifische Induktivit\"at + Drahtgeflecht) mit Außenradius $r_a$ (siehe Abbildung~\ref{fig:hs} f\"ur ein Bild mit verschiedenen Koaxialkabeln). + Im Zwischenraum befindet sich ein Dielektrikum ($\epsilon_r$). Die spezifische Induktivit\"at $$ L^*=\frac{\mu_r\,\mu_0}{2\pi}\ln\left(\frac{r_a}{r_i}\right)$$ und die spezifische Kapazit\"at $$ C^*=\frac{2\pi\,\epsilon_r\,\epsilon_0}{\ln(r_a/r_i)}.$$ - Auch hier berechnet sich die Geschwindigkeit f\"ur die Ausbreitung von Wellen + bestimmen die Geschwindigkeit f\"ur die Ausbreitung von Wellen in einem Koaxialkabel zu $$v=\frac{1}{\sqrt{C^*\,L^*}}=\frac{c}{n}$$ mit $n=\sqrt{\epsilon_r\,\mu_r}\approx\sqrt{\epsilon_r}$. Konkret ist f\"ur ein @@ -1109,7 +1110,7 @@ Ladungsdichten $N_i$ und D\"ampfungskonstanten $\gamma_i$ zu tun haben. Die Oszillatoren werden jeweils durch eine Oszillatorst\"arke $f_i$ gewichtet, f\"ur die gilt $\sum\,f_i=1$. -\marginpar{\qrcode[hyperlink,height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69508/1748/3550}} +\marginpar{\qrcode[hyperlink,height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69508/3565/3863}} \subsection{Einschub: Metalle und Plasmen (freie Ladungen)} Im Gegensatz zum Dielektrikum sind die Ladungen in Metallen und in Plasmen frei, d.h. die freie Oszillationsfrequenz $\omega_0\rightarrow 0$. Somit ergibt sich f\"ur @@ -1383,6 +1384,7 @@ rechtes Bild: Umlenkprisma} \marginpar{\qrcode[hyperlink, height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69539/2261/2464}} \marginpar{Experiment: \qrcode[hyperlink, height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69539/2509/2850}} +%%%% \subsection{Polarisation und Reflexion: Brewster-Winkel} Im vorigen Abschnitt haben wir die Fresnel-Gleichungen kennengelernt, mit denen wir die Reflektivität an der Übergangsfläche zwischen zwei Dielektrika bestimmen können. Ein Spezialfall tritt dann auf, wenn für den Winkel zwischen reflektiertem und durchgehendem Strahl gilt: $\alpha+\beta=\pi/2$. In diesem Fall gilt für $\rho_p=\tan(\alpha-\beta)/\tan(\alpha+\beta)=0$, weil der Nenner divergiert: \textbf{die parallel polarisierte Komponente wird \textit{nicht} reflektiert}. @@ -1412,15 +1414,26 @@ der Strahlrichtung verlaufen, d.h. in dieser Richtung ist $\sin^2 0=0$. Rechtes Bild: Das gestreute Sonnenlicht (Rayleigh-Streuung betrifft hauptsächlich das kurzwellige Licht) ist ebenfalls polarisiert, wenn die Sichtlinie senkrecht zu der Verbindungslinie zwischen dem Streuzentrum und der Sonne steht. } \end{figure} + +\marginpar{\qrcode[hyperlink, height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69539/3212/5003}} \textbf{Anwendungen}:\\ -Polarisationsfilter für Angler, Autofahrer oder Photographen, um ungewünschte Reflexe zu unterdrücken (siehe Abb.~\ref{pic:brewster} links). +\textbf{Polarisationsfilter} für Angler, Autofahrer oder Photographen, um ungewünschte Reflexe zu unterdrücken (siehe Abb.~\ref{pic:brewster} links). Zum \"Uberlegen: Der in der Abbildung~\ref{pic:brewster} (links) gezeigte Polarisationsfilter schwächt das von der Glasoberfläche reflektierte Licht ab - welche Polarisationsrichtung ist die Durchlassrichtung des Filters? +Anmerkung: Polarisationsfilter im optischen (wie in Abbildung~\ref{pic:brewster} gezeigt) funktionieren auf Basis von langgestreckten Polymeren. Ein linearer Polarisationsfilter lässt maximal 50~\% der einfallenden Leistung hindurch. Ein +zweiter Polarisationsfilter (Analysator) lässt abhängig vom Winkel $\theta$ zwischen den Polarisationsrichtungen eine Leistung proportional zu $\cos^2\theta$ hindurch (\textbf{Malus'sches Gesetz}). + Verwandtes Phänomen: \textbf{Polarisiertes Himmelsblau}\\ Sonnenlicht wird an den Molekülen in der Atmosphäre gestreut, wobei die Moleküle polarisiert werden und Dipolstrahlung abgeben. Für einen Beobachter unter einem Winkel von $\pi/2$ zur Verbindungsline zur Sonne ist dementsprechend nur die senkrechte Polarisationsrichtung sichtbar (siebe Abb.~\ref{pic:brewster} rechts). +\textbf{Regenbogen}: Die Bildung von Regenbogen (und weiterer atmosphärischer Phänomene der Lichtbrechung) ist auf die Präsenz von Dielektrika (Wassertropfen bzw. auch Eispartikel) zurückzuführen. Bei einem Regenbogen ist +es zweimalige Brechung und nahezu Totalreflexion an der Grenzschicht Wasser-Luft, die zur Bildung eines (bzw. bei zweifacher Reflexion auch eines zweiten) Regenbogens. Die genauere Diskussion dieses Phänomens +findet sich in der Vorlesung + +\textbf{Lichtbrechung am Prisma}: Bei einem Prisma beobachten wir die Auffächerung des Lichtes in die spektralen Farben. Führen wir die spektralen Komponenten wieder zusammen, erhalten wir weißes Licht. + \begin{figure} \parbox{0.5\linewidth}{ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{pictures/brewster_reflex.png}} @@ -1435,6 +1448,9 @@ Verbindungsline zur Sonne ist dementsprechend nur die senkrechte Polarisationsri +\marginpar{\qrcode[hyperlink, height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69539/5024/5266}} +\marginpar{Experiment\qrcode[hyperlink, height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69539/5292/5405}} + \subsection{Optisch anisotrope Medien: Doppelbrechung} Im allgemeinen ist der Brechungsindex in einem Dielektrikum nicht isotrop (z.B. Kalzit-Kristall oder auch Polymere). Für ein anisotropes Medium ersetzen @@ -1451,6 +1467,7 @@ die Ausbreitungsrichtung als schwarzer Pfeil angedeutet. Senkrecht zu der Ausbre Polarisationsrichtungen. Wir wählen in der senkrecht zur Ausbreitungsrichtung liegenden Ebene (grün) zum einen die Richtung in der der Brechungsindex $n_O:=n_2=n_3$ ist und senkrecht hierzu haben wir einen davon unterschiedlichen Brechungsindex $n_a>n_O$. Für einen unpolarisierten Strahl ergeben sich also zwei mögliche senkrecht zueinander stehende Polarisationsrichtungen, die unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten in dem Medium haben. +\marginpar{\qrcode[hyperlink, height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69539/5419/5690}} Fällt eine ebene Welle senkrecht auf eine Grenzschicht zu einem positiven, uniaxialen Kristall, spaltet sich der Strahl in einen \textit{gewöhnlichen} und einen außergewöhnlichen Strahl auf, deren Polarisationsrichtungen den Richtungen von $n_O$ und $n_a$ entsprechen. Der gewöhnliche Strahl folgt dem Snell'schen Brechungsgesetz und ist senkrecht polarisiert zu der Polarisationsrichtung des außergewöhnlichen Strahls, der nicht dem Snell'schen Gesetz folgt, sondern auch bei senkrechtem Auftreffen in einem Winkel zum gewöhnlichen Strahl propagiert. \textit{Zum Nachdenken: Konstruieren Sie den Verlauf der Elementarwellen des außergewöhnlichen Strahls - berücksichtigen Sie hierbei die unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeit.} @@ -1469,7 +1486,7 @@ gewöhnliche Strahl hindurchgelangen kann. \begin{figure} \parbox{0.7\linewidth}{ \includegraphics[width=\linewidth]{Graphiken/ellipsoid_export.png}} - \parbox{0.3\linewidth}{ + \parbox{0.28\linewidth}{ \caption{ \label{fig:doppelbrechung} In einem uniaxialen Medium mit $n_1>n_2=n_3$ (positiver Kristall) breitet sich eine ebene Welle in Richtung des Pfeils aus. -- GitLab