Wir wählen das Vorzeichen von $M$ in der Weise, dass für reale Abbildungen $M<0$ und für virtuelle Abbildungen $M>0$ gilt.
Wir wählen das Vorzeichen von $m$ in der Weise, dass für reale Abbildungen $m<0$ und für virtuelle Abbildungen $m>0$ gilt.
Die Abbildung \ref{fig:Abbildungen-Sammellinse-verschiedene-Gegenstandsweiten} zeigt die Abbildung eines Gegenstands $G$ durch eine bikonvexe Linse für verschiedene Abstände des Gegenstands und die Tabelle \ref{tab:Abbildung-bikonvexe-Linse-Fälle} führt die wichtigsten Fälle mit allen Kenngrößen auf. Beispiele für Abbildungen mit einer Sammellinse sind in Abbildung~\ref{photos:lens_images} dargestellt.
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@@ -485,12 +485,12 @@ Die Abbildung \ref{fig:Abbildungen-Sammellinse-verschiedene-Gegenstandsweiten} z
\caption{Bilder erzeugt mit einer Sammellinse: links, ein reales Bild in der Durchsicht, Mitte: in der Projektion; beide Bilder haben den Abbildungsmaßstab $-1<M<0$. Das rechte Bild zeigt das virtuelle Bild, wenn $g<f$ gewählt ist, hier ist $M>1$ (Lupe).\label{photos:lens_images}}
\caption{Bilder erzeugt mit einer Sammellinse: links, ein reales Bild in der Durchsicht,
Mitte: in der Projektion; beide Bilder haben den Abbildungsmaßstab $-1<m<0$. Das rechte Bild zeigt das virtuelle Bild, wenn $g<f$ gewählt ist, hier ist $m>1$ (Lupe).\label{photos:lens_images}}
\end{figure}
\subsubsection{Zerstreuungslinse}
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@@ -519,7 +520,8 @@ Zerstreuungslinsen sind in der Regel bikonkave Linsen\footnote{Zerstreuungslinse
Um die gewünschten optischen Eigenschaften zu erreichen, lassen sich Linsen zu \textit{Linsensysteme} kombinieren. Durch eine optimierte Kombination verschiedener Linsen lässt sich die Qualität der Abbildung erheblich verbessern und auch Abbildungsfehler korrigieren.
Wir betrachten dazu zunächst ein System von zwei dünnen Linsen mit Brennweiten $f_1$ und $f_2$ mit Abstand $d$ der beiden Hauptebenen (Abbildung \ref{fig:Linsensystem}) mit einer gemeinsamen optischen Hauptachse.
Wir betrachten dazu zunächst ein System von zwei dünnen Linsen mit Brennweiten $f_1$ und $f_2$ mit Abstand $d$ der beiden Hauptebenen der Linsen
(Abbildung \ref{fig:Linsensystem}) mit einer gemeinsamen optischen Achse.
\begin{figure}[htbp]
\centering
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@@ -528,7 +530,12 @@ Wir betrachten dazu zunächst ein System von zwei dünnen Linsen mit Brennweiten
\label{fig:Linsensystem}
\end{figure}
Zur Herleitung der Abbildungsgleichung eines Linsensystems betrachten wir die optische Abbildung der beiden Linsen nacheinander. Ein achsenparalleler Strahl läuft durch den bildseitigen Brennpunkt $F_1$ der ersten Linse, der dann weiter in den Punkt $F_{12}$ abgebildet wird. Dies ist der bildseitige Brennpunkt des \textit{Linsensystems}.
Zur Herleitung der Abbildungsgleichung eines Linsensystems betrachten wir die
optische Abbildung der beiden Linsen nacheinander. Ein achsenparalleler Strahl
läuft durch den bildseitigen Brennpunkt $F_1$ der ersten Linse, der dann weiter
in den Punkt $B$ im Abstand $b$ zur zweiten Linse abgebildet wird. Dies ist für einen parallel einfallenden
Strahl der bildseitige Brennpunkt des
\textit{Linsensystems}.
Die Gegenstandsweite für die zweite Linse ist $d-f_1$, so dass die Bildweite $b$ mit der Linsengleichung
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@@ -537,17 +544,44 @@ Die Gegenstandsweite für die zweite Linse ist $d-f_1$, so dass die Bildweite $b
bestimmt ist zu
\[ b =\frac{f_2(d-f_1)}{d-(f_1+f_2)}. \]
Dies ist der Abstand des gemeinsamen Fokus von der zweiten Linse.
Wir können eine Fokallänge für das Linsensystem angeben, so dass nach wie vor die Abbildungsgleichung gültig ist (Gegenstandsweite $g$ und Bildweite $b$ beziehen sich dann auf den Abstand zu den Hauptebenen der beiden Linsen):
Wir können eine Fokallänge für das Linsensystem angeben, so dass nach wie vor
die Abbildungsgleichung gültig ist (Fokallänge $f$, Gegenstandsweite $g$ und Bildweite $b$
beziehen sich dann auf den Abstand zu der Hauptebene der beiden Linsen):
Diese Gleichung wird später im Abschnitt~\ref{section:geom_beispiele} hergeleitet.
Für den Fall, dass die Linsen in geringem Abstand zueinander stehen
($d\ll f_1$ und $d\ll f_2$), können wir den letzten Term vernachlässigen. \textbf{Die reziproken Brennweiten zweier nahe benachbarter Linsen addieren sich.}
Anders ausgedrückt addieren sich die Brechkräfte zweier nahe benachbarter und auf die gleiche Symmetrieachse zentrierter Linsen. Durch die geeignete Wahl von $f_1$, $f_2$ und $d$ lassen sich Linsensysteme mit nahezu beliebigen Brennweiten $f$ konstruieren (\textit{Überlegen Sie sich den Abbildungsmaßstab $M$ für das zusammengesetzte System - welches Vorzeichen erhalten Sie?})
Anders ausgedrückt addieren sich die Brechkräfte zweier nahe benachbarter und
auf die gleiche Symmetrieachse zentrierter Linsen. Durch die geeignete Wahl
von $f_1$, $f_2$ und $d$ lassen sich Linsensysteme mit nahezu beliebigen
Brennweiten $f$ konstruieren. (\textit{Überlegen Sie sich den Abbildungsmaßstab
$m$ für das zusammengesetzte System - welches Vorzeichen erhalten Sie?})
\caption{\label{fig:2lenses} Abbildungskonstruktion für zwei dünne Sammellinsen.}
\end{figure}
Zeichnerisch lässt sich die Abbildung der beiden Linsen $L_1$ und $L_2$ der Abbildung~\ref{fig:2lenses} folgend konstruieren:
\begin{enumerate}
\item Wir konstruieren zunächst das Bild des Gegenstandes mit der linken Linse, hierzu verwenden wir die Strahlen $1,2$.
\item Vom Bild ausgehend konstruieren wir den Strahl $3$ als Mittenstrahl durch $L_2$. Die Brechung an der Linse $L_1$ lässt sich
jetzt konstruieren, weil dieser Strahl auf den Gegenstand zurückzeigen muss.
\item Wir zeichnen den Strahl $4$ als Brennpunktstrahl für $L_1$ ein. Der parallel austretende Strahl wird dann durch Linse $L_2$ in
$F_2$ (bildseitig) gebrochen. Wir haben jetzt den Schnittpunkt von Strahl $3$ und $4$ als Bild konstruiert.
\end{enumerate}
Anschließend müssen wir noch den gemeinsamen Fokus finden und die dazugehörige Hauptebene $H$. Für den Fokus verlängern wir den Strahl $1$
durch $L_2$, so dass der Strahl durch den Bildpunkt (Spitze des Pfeils) geht. Der Schnittpunkt mit der optischen Achse ist der gemeinsame Fokus.
Die Hauptebene identifiziern wir mit derjenigen Ebene, an der ein einlaufender paraller Strahl so gebrochen wird, dass er den Fokus schneidet. Hierzu suchen wir den Schnittpunkt des Brennpunktstrahls (vom Fokus $F$ ausgehend) mit dem verlängerten Strahl $1$. Die Hauptebene befindet sich im Abschnitt $f$ zu dem gemeinsamen Fokus.
\subsection{Abbildungsfehler}
Alle bisher gemachten Aussagen für Linsen gelten in der paraxialen Näherung, d.h. sie gelten für achsennahe Strahlen. Sobald man nicht mehr achsennahe Strahlen betrachtet oder die Strahlen die Linse asymmetrisch zur Achse durchlaufen, kommt es zu \index{Abbildungsfehler}\textbf{Abbildungsfehlern}. Diese führen dazu, dass Strahlen die von einem Punkt ausgehen sich nicht mehr in einem Punkt vereinigen, sondern nur noch in der Umgebung der Bildpunktes. Die Folgen sind Bildunschärfen oder Verzerrungen, welche für verschiedene Bildbereiche unterschiedlich groß sein können. Wir betrachten kurz die relevantesten Linsenfehler und deren Korrekturen.
\begin{itemize}
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@@ -626,7 +660,7 @@ photochemische Rezeptoren (Stäbchen und Zapfen, insgesamt etwa 3 bis 7 Millione
@@ -851,6 +885,8 @@ Mit anderen Worten lässt sich mithilfe von Spiegelteleskopen mit großen Durchm
\end{itemize}
%%%%%%%%%%%%
\section{Paraxiale Optik: Beschreibung durch Matrizen}
\label{section:matrix_method}
%In diesem Abschnitt behandeln wir die Matrixmethode zur Beschreibung des Verlaufs von Lichtstrahlen durch ein komplexes optisches System. Dies ermöglicht u.a. die effiziente Behandlung allgemeiner optischer Systeme mithilfe von Computern. Es handelt sich um ein einfaches (lineares) Verfahren zur Berechnung von optischen Systemen, falls folgende Voraussetzungen erfüllt sind:
Aufgrund der geradlinigen Ausbreitung kann ein Lichtstrahl als gerade Linie betrachtet werden. In der Optik sind besonders jene Systeme mit axialer Symmetrie von Interesse. In solchen Systemen kann ein einziger Lichtstrahl ausreichend genau beschrieben werden durch seine Distanz zur optischen Achse (siehe Abbildung \ref{fig:Matrixmethoden-Koordinaten-2}) und den eingeschlossenen Winkel. Ist das System nicht rotationssymmetrisch, z.B. nach Durchlaufen einer Zylinderlinse, sind die zwei unabhängigen Koordinaten $x$ und $y$ analog zum eindimensionalen Fall zu behandeln.
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@@ -1049,7 +1085,6 @@ Ein einfaches Beispiel, um dieses Verfahren zu demonstrieren, stellt eine Linse
Jeweils links und rechts der Linse gilt $n_1=n=n_3$: das umgebende Medium soll homogen sein. Der Verlauf der Lichtstrahlen durch dieses Linse stellt sich mathematisch als folgende Transformation
