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v0.1/em_waves.tex

@@ -216,6 +216,7 @@ Anmerkungen:
 Die Energiedichte des elektrischen und magnetischen Feldes kennen wir bereits f\"ur den statischen Fall:
 \[ w= \frac{1}{2}\epsilon_r\,\epsilon_0\,\bm{E}^2 + \frac{1}{2}\mu_r\,\mu_0\,\bm{H}^2
   = \frac{1}{2}\epsilon_r\,\epsilon_0\,\bm{E}^2 + \frac{1}{2}\frac{\bm{B}^2}{\mu_r\,\mu_0}.\]
+
 F\"ur eine elektromagnetische Welle ist $|\bm{B}|=n|\bm{E}|/c=\sqrt{\epsilon_r\,\mu_r\,\epsilon_0\,\mu_0}|\bm{E}|$, also
 l\"asst sich die Energiedichte in Abh\"angigkeit der elektrischen Feldst\"arke schreiben als 
 $$w=\frac{1}{2}\epsilon_r\,\epsilon_0\,\bm{E}^2 + \frac{1}{2}\frac{n^2\bm{E}^2}{c^2\mu_r\mu_0}  =\epsilon_r\,\epsilon_0\,\bm{E}^2.$$
@@ -225,14 +226,15 @@ der Energie pro Zeitintervall $dt$ und Fl\"achenelement $dA$
 $$\frac{dU}{dA\,dt}=\frac{dU}{dA\,dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dU}{dV}\dot{x}=w\,v,$$
 mit $v=\dot{x}$. Die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung im Dielektrikum mit
 Brechungsindex $n$ ist $v=c/n$, so dass wir f\"ur die Leistung/Fl\"ache erhalten:
-$$\frac{dU}{dA\,dt}=w\,\frac{c}{n}=\epsilon_r\,\epsilon_0\,|\bm{E}|\,\frac{|\bm{B}|\,c}{n}\,\frac{c}{n}=\frac{|\bm{E}|\,|\bm{H}|}{\mu_r\,\epsilon_r}.$$
+$$\frac{dU}{dA\,dt}=w\,\frac{c}{n}=\epsilon_r\,\epsilon_0\,|\bm{E}|\,\frac{|\bm{B}|\,c}{n}\,\frac{c}{n}=\frac{|\bm{E}|\,|\bm{H}|}{\mu_r}.$$
 Wir k\"onnen eine neue abgeleitete Gr\"oße einf\"uhren, den \textit{Poynting}-Vektor, der parallel zu $\bm{k}$ definiert ist:
 \begin{wichtig}[Poynting-Vektor]
-$$\bm{S}:= \frac{1}{\mu_r\,\epsilon_r}\bm{E}\times\bm{H}.$$
+$$\bm{S}:= \frac{1}{\mu_r}\bm{E}\times\bm{H}.$$
 \end{wichtig}
-Der Richtung des Poynting-Vektors entspricht der Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen Welle, der Betrag des Poynting-Vektors ist die Leistung, die pro Fl\"acheneinheit (Fl\"achennormale parallel zur Richtung des Poynting-Vektors) transportiert wird.\\
+Die Richtung des Poynting-Vektors entspricht der Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen Welle, der Betrag des Poynting-Vektors ist die Leistung, 
+die pro Fl\"acheneinheit (Fl\"achennormale parallel zur Richtung des Poynting-Vektors) transportiert wird.\\
 Der so definierte Poynting-Vektor ist im allgemeinen zeit- und ortsabh\"angig. Wir k\"onnen f\"ur den Spezialfall einer harmonischen Welle einen zeitlichen Mittelwert angeben:
-$$\langle S\rangle_t=\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}dt\,w\frac{c}{n}=\frac{1}{2}|\bm{S}|=\frac{1}{2}\epsilon_r\,\epsilon_0\,\frac{c}{n}\,|\bm{E}_0|^2.$$
+$$\langle S\rangle_t=\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}dt\,w\frac{c}{n}=\frac{1}{2}|\bm{S}_0|=\frac{1}{2}\epsilon_r\,\epsilon_0\,\frac{c}{n}\,|\bm{E}_0|^2.$$
 Anwendungen:
 \begin{itemize}
 	\item Kugelwelle: $\bm{E}(\bm{r},t)=\bm{E}(r,t)$ (folgt aus $\bm{k}=k\bm{e}_r$) und