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Commit 28bcea9a authored by Horns, Prof. Dr. Dieter's avatar Horns, Prof. Dr. Dieter :house_with_garden:
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Edited some of the sections, more links

I disentangled Sections 8.3 and 8.4,
made the enumeration (i), (ii), (iii) in 8.5 to be consistent
with the lecture
In 8.6 added a link to GeoGebra for the circular polarization
parent 6489d02f
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Pipeline #74284 passed
......@@ -56,7 +56,7 @@ der Felder einer propagierenden elektromagnetischen Welle):
Zusammen mit der Lorenzkraft $\bm{F}=q(\bm{v}\times\bm{B}+\bm{E})$, dem Ohm'schen
Gesetz $\partial\rho/\partial t=-\nabla\cdot \bm{j}$ und der Beziehungen $\bm{B}=\mu_r\mu_0\bm{H}$ sowie $\bm{D}=\epsilon_0\epsilon_r\bm{E}$
k\"onnen wir alle wesentlichen elektromagnetischen Ph\"anomene beschreiben.
\section{Wellengleichung f\"ur elektromagnetische Felder in Vakuum}
\section{Wellengleichung f\"ur elektromagnetische Felder}
\marginpar{\qrcode[hyperlink,height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69377/2877/3714}}
Betrachte Wellenausbreitung in einem dielektrischen Medium mit $\epsilon_r>1$, aber
\textit{ohne freie Ladungen und Str\"ome}:
......@@ -76,41 +76,70 @@ entsprechend in Gl.~\ref{eqn:rotH} und nutzen $\nabla\cdot\bm{E}=0$:
\Laplace\bm{E} = \mu_r\,\mu_0\,\epsilon_r\,\epsilon_0 \frac{\partial^2\bm{E}}{\partial t^2}.
\end{equation}
Diese Gleichung hat die Struktur der bekannten Wellengleichung $\partial_{xx}u:=v^{-2}\partial_{tt}u$ und wir können direkt Lösungen diskutieren!
Darüber hinaus können wir sofort die Ausbreitungsgeschwindigkeit in einem Medium ablesen:
\begin{equation}
v^2 = \frac{1}{\mu_r \mu_0 \epsilon_r \epsilon_0}
\end{equation}
und die Lichtgeschwindigkeit $c$ in Vakuum ($\mu_r=1$, $\epsilon_r=1$) bestimmen
\begin{equation}
c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}.
\end{equation}
Das Verhältnis von $c/v$ wird auch als Brechungsindex
\begin{equation}
n= \frac{c}{v} = \sqrt{\epsilon_r~\mu_r}\approx \sqrt{\epsilon_r}
\end{equation}
bezeichnet. Die Näherung $n=\sqrt{\epsilon_r}$ gilt insbesondere für Dielektrika, die in der Regel
diamagnetisch sind.
Eine analoge Betrachtung l\"asst sich mit dem Magnetfeld anstellen, f\"ur das die Wellengleichung gilt:
$$\Laplace\bm{H}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\bm{H}}{\partial t^2}.$$
%%%%
\section{Ebene Welle}
\section{Ebene harmonische Welle}
\marginpar{\qrcode[hyperlink,height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69377/3840/4118}}
Eine L\"osung der Wellengleichung ist
\begin{equation}\label{eqn:ebenewelle}
\bm{E}(\bm{r},t)=\bm{E}_0\,\sin(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega\,t),
\end{equation}
mit $\bm{k}=2\pi\,\bm{e}_k/\lambda$ ($\bm{e}_k$ ist der Einheitsvektor in der Ausbreitungsrichtung der Welle) und $v=\omega/|\bm{k}|=\omega\,\lambda/(2\pi)=\nu\,\lambda$.
Aus dem Vergleich von
$$\Laplace\,\bm{E}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\bm{E}}{\partial t^2}$$
mit Gl.~\ref{eqn:waveE} folgt f\"ur die Ausbreitungsgeschwindigkeit
(Phasengeschwindigkeit):
$$v=\frac{1}{\sqrt{\mu_r\mu_0\epsilon_r\epsilon_0}}\equiv \frac{c}{n},$$
mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit
$$c:=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}$$
und dem Brechungsindex
$$n:= \sqrt{\epsilon_r\mu_r}\approx\sqrt{\epsilon_r},$$
weil in der Regel $\mu_r\approx 1$ gilt. Für den Brechungsindex $n$ gilt normalerweise $n>1$, so dass Licht sich in einem Dielektrikum langsamer bewegt als im
Vakuum (im Allgemeinen ist $n=n(\omega)$ und kann komplexwertig sein, das führt zu Absorption,
siehe auch Abschnitt~\ref{section:dispersion}). \\
Eine analoge Betrachtung l\"asst sich mit dem Magnetfeld anstellen, f\"ur das die Wellengleichung gilt:
$$\Laplace\bm{H}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\bm{H}}{\partial t^2}.$$
mit $\bm{k}=2\pi\,\bm{e}_k/\lambda$ ($\bm{e}_k$ ist der Einheitsvektor in der Ausbreitungsrichtung der Welle) und
die Phasengeschwindigkeit $v=\omega/|\bm{k}|=\omega\,\lambda/(2\pi).$
Daraus folgt die für eine elektromagnetische Welle mit der Frequenz $\nu$ und Wellenlänge $\lambda$:
\begin{equation}
v=\frac{c}{n} = \nu\,\lambda.
\end{equation}
Zum Nacharbeiten:
\begin{itemize}
\item Überprüfen Sie, dass die Gleichung \ref{eqn:ebenewelle} die Wellengleichung
\ref{eqn:waveE} löst.
\item Überlegen Sie sich weitere Lösungen der Wellengleichung.
\end{itemize}
%Aus dem Vergleich von
%$$\Laplace\,\bm{E}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\bm{E}}{\partial t^2}$$
%mit Gl.~\ref{eqn:waveE} folgt f\"ur die Ausbreitungsgeschwindigkeit
%(Phasengeschwindigkeit):
%$$v=\frac{1}{\sqrt{\mu_r\mu_0\epsilon_r\epsilon_0}}\equiv \frac{c}{n},$$
%mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit
%$$c:=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}$$
%und dem Brechungsindex
%$$n:= \sqrt{\epsilon_r\mu_r}\approx\sqrt{\epsilon_r},$$
%weil in der Regel $\mu_r\approx 1$ gilt. Für den Brechungsindex $n$ gilt normalerweise $n>1$, so dass Licht sich in einem Dielektrikum langsamer bewegt als im
%Vakuum (im Allgemeinen ist $n=n(\omega)$ und kann komplexwertig sein, das führt zu Absorption,
%siehe auch Abschnitt~\ref{section:dispersion}). \\
\section{Ausbreitung einer ebenen Welle}
\marginpar{\qrcode[hyperlink,height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69377/4118/4810}}
Eigenschaften der L\"osung f\"ur eine ebene Welle:
\begin{itemize}
\begin{enumerate}[i)]
\item $\bm{E}$ und $\bm{H}$ sind senkrecht zu $\bm{k}$:
Mit $\nabla\cdot\bm{E}=0$ folgt nach Einsetzen der L\"osung aus Gleichung~\ref{eqn:ebenewelle}:
$$\nabla(\bm{E}_0\sin(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega\,t))=
\bm{k}\cdot\bm{E}_0\cos(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega\,t)=\bm{k}\cdot\bm{E}=0.$$
\bm{k}\cdot\bm{E}_0\cos(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega\,t) \rightarrow \bm{k}\cdot\bm{E}_0=0.$$
Die Gleichheit (f\"ur alle $\bm{r}$ und jedes beliebige $t$) ist
nur dann erf\"ullt, wenn $\bm{k}\cdot\bm{E}=0$ gilt, also die beiden
nur dann erf\"ullt, wenn $\bm{k}\cdot\bm{E}_0=0$ gilt, also die beiden
Vektoren senkrecht zueinander stehen. Analog l\"asst sich die
gleiche Eigenschaft f\"ur $\bm{H}\cdot\bm{k}=0$ zeigen.
gleiche Eigenschaft f\"ur $\bm{H}_0\cdot\bm{k}=0$ zeigen.
\item $\bm{E}$ und $\bm{B}$ sind senkrecht zueinander und in Phase:
Mit $\nabla\times\bm{E}=-\partial\bm{B}/\partial t$ und der Gl.~\ref{eqn:ebenewelle} f\"ur $\bm{E}(\bm{r},t)$ ergibt sich
$$\nabla\times\bm{E}=\bm{k}\times\bm{E}_0\cos(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega\,t).$$
......@@ -125,7 +154,7 @@ Eigenschaften der L\"osung f\"ur eine ebene Welle:
mit Brechungsindex $n$ gilt entsprechend der Faktor $n/c$.
\item Konvention: Die Richtung des $\bm{E}$-Feldvektors wird als
die Polarisationsrichtung der elektromagnetischen Welle interpretiert.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\colorlet{crystal}{blue!75}
\def\zangle{-10}
\def\xangle{20}
......@@ -198,6 +227,8 @@ in {20,...,152}{
\section{Polarisation}
\marginpar{\qrcode[hyperlink,height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69377/4810/5283}}
\marginpar{\qrcode[hyperlink,height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69417/0525/1191}}
\marginpar{Geogebra\qrcode[hyperlink,height=1.5cm]{https://www.geogebra.org/m/ucd6xpfa}}
Eine ebene Welle
$$ \bm{E}=\bm{E}_0\,e^{i(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega\,t)},$$
mit Wellenvektor $\bm{k}=k\bm{e}_{z}$ ist
......@@ -217,15 +248,18 @@ Anmerkungen:
\item Wenn eine unpolarisierte Welle einen Polarisator durchquert, wird eine Polarisationsebene bevorzugt hindurchgelassen.
Wir werden sp\"ater M\"oglichkeiten kennenlernen, durch Doppelbrechung zirkul\"ar polarisiertes Licht zu erzeugen.
\item F\"ur den Fall zirkul\"aren (analog für die elliptische) Polarisation unterscheiden wir \textit{links} zirkul\"ar polarisiert (der elektrische Feldvektor durchl\"auft eine Rotation, die f\"ur einen Beobachter, der die Welle auf sich zukommen sieht, nach links verl\"auft, siehe Abbildung~\ref{fig:ebeneWelle}). Eine
\textit{rechts} zirkul\"are Polarisation ist entsprechend nach rechts drehend. Wir ordnen der Orientierung des Drehung des Feldvektors eine
\textit{Händigkeit} zu. Die links zirkuläre Polarisation durchläuft eine rechtshändige Schraube, die rechts zirkuläre Polarisation durchläuft
eine linkshändige Schraube.
In der modernen Schreibweise unterscheiden wir die beiden m\"oglichen relativen Orientierungen des $\bm{k}$ und des axialen Vektors der
Rotation der Polarisationsebene $\bm{\omega}$, so dass
wir von einer $\sigma^+$-Welle reden, wenn $\bm{k}\cdot\bm{\omega}>0$ gilt (rechtshändig) und
$\sigma^-$, wenn $\bm{k}\cdot\bm{\omega}<0$ gilt (linkshändig).
\item F\"ur den Fall zirkul\"aren (analog für die elliptische) Polarisation unterscheiden wir
\textit{links} zirkul\"ar polarisiert (der elektrische Feldvektor durchl\"auft eine Rotation, die f\"ur einen Beobachter, der die Welle auf sich zukommen sieht, nach links verl\"auft, siehe Abbildung~\ref{fig:ebeneWelle}). Eine
\textit{rechts} zirkul\"are Polarisation ist entsprechend nach rechts drehend. Leider gibt es hier zwei unterschiedliche Konventionen, je nach Perspektive (hier benutzen wir die Drehrichtung aus der Perspektive des Beobachters)\footnote{Für Radioastronomen
ist die Drehrichtung aus der Sicht der Quelle Konvention}.
% Wir ordnen der Orientierung des Drehung des Feldvektors eine
% \textit{Händigkeit} zu. Die links zirkuläre Polarisation durchläuft eine rechtshändige Schraube, die rechts zirkuläre Polarisation durchläuft
% eine linkshändige Schraube.
% In der modernen Schreibweise unterscheiden wir die beiden m\"oglichen relativen Orientierungen des $\bm{k}$ und des axialen Vektors der
% Rotation der Polarisationsebene $\bm{\omega}$, so dass
%wir von einer $\sigma^+$-Welle reden, wenn $\bm{k}\cdot\bm{\omega}>0$ gilt (rechtshändig) und
% $\sigma^-$, wenn $\bm{k}\cdot\bm{\omega}<0$ gilt (linkshändig).
\end{enumerate}
\section{Energie- und Impulstransport}
......@@ -1278,7 +1312,7 @@ Mit Lichtwellen gelingt das Experiment nicht ohne erheblichen Aufwand, denn die
die Distanz von einer Wellenlänge).
\marginpar{\qrcode[hyperlink, height=1.5m]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69539/1245/2257}}
\marginpar{\qrcode[hyperlink, height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69539/1245/2257}}
\subsection{Fresnel-Formeln}
Wir haben bislang nicht weiter darüber nachgedacht, wie die Polarisation der einfallenden, gebrochenen und reflektierten Welle zusammenhängen. Die Ableitung der
hierzu relevanten \index{Fresnel-Formeln} \textbf{Fresnel-Formeln} lassen wir hier aus und verweisen auf vorhandene Textbücher etc. Die Vorgehensweise für die Herleitung ähnelt der im vorigen Abschnitt
......@@ -1347,8 +1381,8 @@ rechtes Bild: Umlenkprisma}
Deutlich zu erkennen sind der Grenzwinkel $\alpha_g$ für Totalreflexion und der Brewster-Winkel $\alpha_B$, für den die Reflexion der $p$-Polarisation auf 0 abfällt.\label{fig:reftrans}}
\end{figure}
\marginpar{\qrcode[hyperlink, height=1.5m]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69539/2261/2464}}
\marginpar{Experiment: \qrcode[hyperlink, height=1.5m]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69539/2509/2850}}
\marginpar{\qrcode[hyperlink, height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69539/2261/2464}}
\marginpar{Experiment: \qrcode[hyperlink, height=1.5cm]{https://lecture2go.uni-hamburg.de/l2go/-/get/v/69539/2509/2850}}
\subsection{Polarisation und Reflexion: Brewster-Winkel}
Im vorigen Abschnitt haben wir die Fresnel-Gleichungen kennengelernt, mit denen wir die Reflektivität an der Übergangsfläche zwischen zwei Dielektrika bestimmen können.
Ein Spezialfall tritt dann auf, wenn für den Winkel zwischen reflektiertem und durchgehendem Strahl gilt: $\alpha+\beta=\pi/2$. In diesem Fall gilt für $\rho_p=\tan(\alpha-\beta)/\tan(\alpha+\beta)=0$, weil der Nenner divergiert: \textbf{die parallel polarisierte Komponente wird \textit{nicht} reflektiert}.
......
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