Angenommen, wir haben eine Funktion $f(x)$ und m\"ochten diese Funktion mit einer Geschwindigkeit $v$ in positiver $x$-Achse bewegen, um damit eine Funktion $f(x,t)$ zu konstruieren,
Angenommen, wir haben eine Funktion $f(x)$ und m\"ochten diese Funktion mit einer Geschwindigkeit $v$ in positiver $x$-Achse bewegen, um damit eine Funktion $f(x,t)$ zu konstruieren,
die die Wellengleichung $v^2\partial_{xx}f(x,t)=\partial_{tt}f(x,t)$ l\"ost (in verk\"urzter Schreibweise mit $\partial_{xx}:=\partial^2/\partial x^2$
die die Wellengleichung $v^2\partial_{xx}f(x,t)=\partial_{tt}f(x,t)$ l\"ost (in verk\"urzter Schreibweise mit $\partial_{xx}:=\partial^2/\partial x^2$
und $\partial_{tt}:=\partial^2/\partial t^2$). \\
und $\partial_{tt}:=\partial^2/\partial t^2$). \\
Es reicht hierf\"ur, das Argument $x\mapsto x-v\,t$ zu ersetzen: $f(x,t)=f(x-v\,t)$ l\"ost dann die Wellengleichung (\"Ubung). Es existiert eine zweite L\"osung der Wellengleichung: $f(x,t)=f(x+v\,t)$, die
Es reicht hierf\"ur, das Argument $x$ mit $x\mapsto x\pm v\,t$ zu ersetzen. Die resultierende Funktion $f(x,t)=f(x\pm v\,t)$ l\"ost dann die Wellengleichung (\"Ubung).
in die negative $x$-Richtung propagiert. \\
Je nach Wahl des Vorzeichens beschreibt die Funktion eine Welle, die in positiver oder in negativer $x$-Richtung läuft: $f(x+vt)$ läuft in die negative $x$-Richtung, $f(x-vt)$ läuft in die positive $x$-Richtung.
Der Spezialfall ist die harmonische Welle\footnote{der allgemeine Fall l\"asst sich durch \"Uberlagerung von harmonischen Wellen (Fourier-Reihenentwicklung) erzeugen} mit $f(x)=f_0\,\sin(kx)$ mit $k=2\pi/\lambda$ und der Wellenl\"ange $\lambda$. Hier ergibt sich die harmonische Welle mit unserem Rezept:
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Der Spezialfall ist die harmonische Welle\footnote{der allgemeine Fall l\"asst sich durch \"Uberlagerung von harmonischen Wellen (Fourier-Reihenentwicklung) erzeugen}
mit $f(x)=f_0\,\sin(kx)$ mit $k=2\pi/\lambda$ und der Wellenl\"ange $\lambda$. Hier ergibt sich die harmonische Welle in positiver $x$-Richtung mit unserem Rezept:
Anmerkung: Das Wellenph\"anomen ist universell in der Physik: Schallwelle, Seilwelle, Torsionswelle - welche Wellenph\"anomene kennen Sie noch? Exotischere Wellenph\"anomene finden sich in der Quantenmechanik und in der Gravitationswelle.\\
Anmerkung: Das Wellenph\"anomen ist universell in der Physik: Schallwelle, Seilwelle, Torsionswelle - welche Wellenph\"anomene kennen Sie noch? Exotischere Wellenph\"anomene finden sich in der Quantenmechanik und in der Gravitationswelle.\\
\textbf{Sonderfall einer Welle: Stehende Welle.}\\
\textbf{Sonderfall einer Welle: Stehende Welle.}\\
Aus der \"Uberlagerung von zweier Wellen gleicher Amplitude aber unterschiedlicher Ausbreitungsrichtungen $f_1=f_0\sin(kx-\omega\,t)$ und $f_2=f_0\sin(kx+\omega\,t)$ ergibt sich eine stehende Welle:
Aus der \"Uberlagerung zweier Wellen gleicher Amplitude, gleicher Frequenz aber unterschiedlicher Ausbreitungsrichtungen $f_1=f_0\sin(kx-\omega\,t)$ und $f_2=f_0\sin(kx+\omega\,t)$ ergibt sich eine stehende Welle:
$$f(x,t)=f_1+f_2=2f_0\sin(k\,x)\cos(\omega\,t),$$
$$f(x,t)=f_1+f_2=2f_0\sin(k\,x)\cos(\omega\,t),$$
(hierbei nutzen wir die Identit\"at: $\sin\alpha\pm\sin\beta=2\sin((\alpha\pm\beta)/2)\cos((\alpha\mp\beta)/2)$).
(hierbei nutzen wir die Identit\"at: $\sin\alpha\pm\sin\beta=2\sin((\alpha\pm\beta)/2)\cos((\alpha\mp\beta)/2)$).
Durch die \"Uberlagerung ergibt sich eine faktorisierte Funktion: $f(x,t)=g(x)\,h(t)$ mit Nullstellen von $g(x)$ bei
Durch die \"Uberlagerung ergibt sich eine faktorisierte Funktion: $f(x,t)=g(x)\,h(t)$ mit Nullstellen von $g(x)$ bei
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@@ -27,7 +32,7 @@ $x_{0n}=\lambda/2,
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@@ -27,7 +32,7 @@ $x_{0n}=\lambda/2,
\lambda,
\lambda,
3\lambda/2,
3\lambda/2,
2\lambda,\ldots=n\lambda/2$ ($n\in\N$)
2\lambda,\ldots=n\lambda/2$ ($n\in\N$)
und \textit{B\"auchen} bei $x_{Bn}=(2n+1)\lambda/4$: dort oszilliert die Wellenfunktion von zwischen $-2f_0$ und $2f_0$ (siehe Abbildung~\ref{fig:stehendewelle}).
und \textit{B\"auchen} bei $x_{Bn}=(2n+1)\lambda/4$: dort oszilliert die Wellenfunktion zwischen $-2f_0$ und $2f_0$ (siehe Abbildung~\ref{fig:stehendewelle}).
Elektromagnetische Wellen sind in sehr unterschiedlichen Wellenl\"angen in der Natur beobachtbar (Abb.~\ref{fig:emspectrum_cartoon}); nicht alle Wellenl\"angen lassen sich im Labor erzeugen. Insbesondere werden die k\"urzesten gemessenen Wellenl\"angen (h\"ochsten Frequenzen) in der Umgebung von kosmischen Beschleunigern erzeugt (siehe das gemessene Spektrum des Krebsnebels in Abbildung~\ref{fig:crab_spec}). \\
Elektromagnetische Wellen sind in sehr unterschiedlichen Wellenl\"angen in der Natur beobachtbar (Abb.~\ref{fig:emspectrum_cartoon}); nicht alle Wellenl\"angen lassen sich im Labor erzeugen. Insbesondere werden die k\"urzesten gemessenen Wellenl\"angen (h\"ochsten Frequenzen) in der Umgebung von kosmischen Beschleunigern erzeugt (siehe das gemessene Spektrum des Krebsnebels in Abbildung~\ref{fig:crab_spec}). \\
Bei großen Wellenl\"angen ist der Nachweis der elektromagnetischen Wellen durch die Messung der zeitlich variierenden Feldst\"arken mit Antennen m\"oglich. Sobald die Wellenl\"ange jedoch kleiner werden als die Abmessungen von Antennen, wird haupts\"achlich die Teilcheneigenschaft der elektromagnetischen Welle f\"ur die Detektion benutzt (ab Wellenl\"angen kleiner als etwa $1~$mm, Ausnahmen sind Heterodyne Detektionsmethoden).
Bei großen Wellenl\"angen ist der Nachweis der elektromagnetischen Wellen durch die Messung der zeitlich variierenden Feldst\"arken mit Antennen m\"oglich. Sobald die Wellenl\"ange jedoch kleiner werden als die Abmessungen von Antennen, wird haupts\"achlich die Teilcheneigenschaft der elektromagnetischen Welle f\"ur die Detektion benutzt (ab Wellenl\"angen kleiner als etwa $1~$mm, Ausnahmen sind Heterodyne Detektionsmethoden).
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@@ -300,6 +316,7 @@ Energiemenge zuordnen, die gegeben ist durch $E=h\,\nu$, wenn $\nu$ die Frequenz
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@@ -300,6 +316,7 @@ Energiemenge zuordnen, die gegeben ist durch $E=h\,\nu$, wenn $\nu$ die Frequenz
\end{figure}
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\section{Erzeugung von elektromagnetischen Wellen: Der Hertz'sche Dipol}
\section{Erzeugung von elektromagnetischen Wellen: Der Hertz'sche Dipol}
