modified the reflection at a cable end

the new discussion should be more clear.

v0.1/em_waves.tex

@@ -506,8 +506,9 @@ des Dipols zum Zeitpunkt $t-r/c$ bewirkt werden. Deswegen werden \textit{retardi
 				
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 	\section{Wellenausbreitung in Wellenleitern}
-	Bislang haben wir ebene Wellen in Vakuum betrachtet. Bei der Reflexion an einer Leiterfl\"ache k\"onnen wir z.B. eine freie Welle in eine stehende Welle umwandeln. Die Randbedingungen \"andern die L\"osung der Wellengleichung dramatisch.
-	\subsection{Wellenpropagation auf einem Doppelleiter (Telegraph)}
+	Bislang haben wir ebene Wellen in Vakuum betrachtet. 
+	Bei der Reflexion an einer Leiterfl\"ache k\"onnen wir z.B. eine freie Welle in eine stehende Welle umwandeln. Die Randbedingungen \"andern die L\"osung der Wellengleichung dramatisch.
+	\subsection{Wellenausbreitung auf einem Doppelleiter (Telegraph)}
 	Wir betrachten den Aufbau in Abbildung~\ref{fig:doppelleiter} und analysieren
 	die zeitabh\"angigen Str\"ome und Felder. Die auf dem Leiter fließenden Str\"ome
 	erzeugen ein Magnetfeld zwischen den Leitern. Nach außen wird dieses Feld sich 
@@ -669,7 +670,7 @@ des Leiters \"ubertragen wird.
 	\subsection{Koaxialkabel}
 
 	Die Lecherleitung und die in Deutschland noch immer weitverbreitete verdrillte \textit{twisted pair} Kabel mit verdrillten Kupferdr\"ahten sind einfache und robuste
-	Wellenleiter mit D\"ampfungswerten bei einer Frequenz von 600~Mhz von 50 dB/100~m. 
+	Wellenleiter mit D\"ampfungswerten bei einer Frequenz von 600~Mhz von -50 dB/100~m. 
 	Bessere D\"ampfungswerte lassen sich mit hochwertigen Koaxialkabeln auch zu h\"oheren Frequenzen erzielen. \\
 	Die Geometrie eines einfachen Koaxialkabels besteht aus einem inneren Leiter mit 
 	Radius $r_i$ und einer konzentrischen \"außeren H\"ulle (z.B. eine d\"unne Folie oder auch ein 
@@ -752,21 +753,22 @@ des Leiters \"ubertragen wird.
 
 Wir betrachten einen Wellenleiter mit dem Wellenwiderstand $Z_w$, so dass eine einlaufende
 Welle 
-$$I_\mathrm{in}=\frac{U_\mathrm{in}}{Z_w}$$
 sich mit einer reflektierten Welle
-$$I_\mathrm{re}=\frac{U_\mathrm{re}}{Z_w}$$
 \"uberlagert. Am Kabelende verbinden wir die beiden Leiter mit einem Ohm'schen Widerstand 
-$R$ (siehe Abb.~\ref{fig:koax2}), so dass dort ein Strom $I_R$ flie\ss t bei einem Spannungsabfall $U_R$, f\"ur den Strom gilt (Knotenregel):
-$$I_\mathrm{in}=I_\mathrm{re}+I_R,$$
-so dass sich f\"ur den Spannungsabfall
-$$U_R=R\,I_R=R(I_\mathrm{in}-I_\mathrm{re})$$
-ergibt. Es gilt aber auch (Maschenregel):
-$$U_R=U_\mathrm{in}+U_\mathrm{re},$$
-so dass
-$$U_R=R\,I_R=R(I_\mathrm{in}-I_\mathrm{re})=R\left(\frac{U_{in}}{Z_w} - \frac{U_\mathrm{re}}{Z_w}\right)=U_\mathrm{in}+U_\mathrm{re}.$$  
-Wir formen um, so dass die einlaufenden und reflektierten Amplituden jeweils separiert sind:
-$$U_\mathrm{in}\left(1-\frac{R}{Z_w}\right) = - U_\mathrm{re}\left(1+\frac{R}{Z_w}\right).$$
-Damit l\"asst sich sofort das Verh\"altnis der reflektierenden Amplitude der Spannung zu der einlaufenden
+$R$ (siehe Abb.~\ref{fig:koax2}), so dass dort ein Strom $I_R$ flie\ss t bei einem Spannungsabfall $U_R$.
+
+Das Verhältnis von Spannung und Strom auf dem Wellenleiter ist gegeben durch:
+$$ Z_w = \frac{U_\mathrm{in}}{I_\mathrm{in}} = \frac{U_\mathrm{re}}{I_\mathrm{re}}.$$
+Andererseits gilt für das Verhältnis von Spannung und Strom am Lastwiderstand
+$$ R   =\frac{U_\mathrm{in} + U_\mathrm{re}}{I_R},$$
+wobei nach der Knotenregel $I_R = I_\mathrm{in}-I_\mathrm{re}$ gilt, so dass
+$$ R =  \frac{U_\mathrm{in} + U_\mathrm{re}}{I_\mathrm{in}-I_\mathrm{re}}.$$
+Zusammen mit $I_\mathrm{in}=U_\mathrm{in}/Z_w$ und $I_\mathrm{re}=U_\mathrm{re}/Z_w$ formen wir um:
+$$ R\left(\frac{U_\mathrm{in}}{Z_w} - \frac{U_\mathrm{re}}{Z_w}\right) = U_\mathrm{in} + U_\mathrm{re}.$$
+Wir bringen die Terme mit $U_\mathrm{re}$ und $U_\mathrm{in}$ jeweils auf eine Seite:
+
+$$ U_\mathrm{in}\left(\frac{R}{Z_w} - 1\right) = U_\mathrm{re}\left(1+\frac{R}{Z_w}\right).$$
+Damit l\"asst sich sofort das Verh\"altnis der reflektierten Amplitude der Spannung zu der einlaufenden
 Amplitude angeben, diese Gr\"o\ss e nennen wir $\rho$: der Reflexionsfaktor. 
 $$ \rho:=\frac{U_\mathrm{re}}{U_\mathrm{in}} = \frac{R-Z_w}{R+Z_w}.$$
 Wir k\"onnen damit verschiedene Sonderf\"alle diskutieren:
@@ -1233,7 +1235,7 @@ Für den Fall, dass der Brechungswinkel $\beta=\pi/2$ wird, wird Reflektivität
 Medium $n_1>n_2$ betrachten. Die Bedingung an den minimalen Winkel $\alpha_g$, für den $\beta(\alpha_g)=\pi/2$ gilt, ergibt sich aus der Snell'schen Gleichung
 $$n_1 \sin\alpha_g = n_2,$$
 für den Übergang von Wasser ($n_1=4/3)$) zu Luft ($n_2=1$) erhalten wir
-$$\sin\alpha_g = \frac{n_2}{n_1}\approx \frac{3/4},$$
+$$\sin\alpha_g = \frac{n_2}{n_1}\approx \frac{3}{4},$$
 so dass für Wasser $\alpha_g\approx 49^\circ$ (für Kronglas ist $\alpha_g\approx 42^\circ$). 
 
 Allgemeine Bedingung für \index{Totalreflexion} Totalreflexion für den Übergang von einem Medium mit $n_1$ in ein Medium mit $n_2<n_1$ ist gegeben durch